07-30-极点与幅频响应

第 30 讲：极点与幅频响应

1. 极点图回顾

拉普拉斯变换的极点中，最靠右的极点决定时间函数的主导长期行为。

例如，极点为

的函数通常包含圆频率 的振荡，而没有非零指数增长率。若还存在右半平面极点 ，则 型增长最终压倒虚轴极点产生的有界或次指数振荡。

一些具有极点 的例子：

原讲义速查表示例中，延迟项和最后一个逆变换有文字提取错误；这里按标准变换校正。

若极点图还包含 ，例如

时间函数含有

并以指数率 增长。

2. 稳定性

系统 的单位冲激响应满足

因此 的极点就是特征多项式 的根。

若所有极点实部为负，则：

• 冲激响应 ；
• 所有齐次解指数衰减；
• 初始条件产生的项都是暂态；
• 系统在渐近意义下稳定。

3. 指数响应与传递函数

指数响应公式可写成

只要 不是极点。

对正弦输入，用复数替换：

稳态复响应为

取实部：

若

则

所以

复增益就是传递函数在虚轴 上的取值。

4. 从黑箱到幅频响应

理解一个 LTI 黑箱系统的统一流程：

1. 输入 ；
2. 测量输出 ；
3. 计算

4. 在复平面考察 ；
5. 限制到虚轴 ，得到

的曲面与虚轴上方竖直平面的交线，就是幅频响应曲线。

当 接近某个极点时， 变大，形成近共振峰。增大阻尼会把极点向左半平面推远，使峰值降低并变宽。高阶系统有更多极点，幅频曲线也更复杂。

5. 傅里叶级数与拉普拉斯极点

周期 的函数基本圆频率为

其傅里叶级数由

组成。这些谐波的拉普拉斯变换在

有极点。

因此因果化周期函数 的极点通常沿虚轴排列，间距为 。虚部编码振荡频率，实部编码指数增长或衰减率：

• 右半平面极点：指数增长；
• 虚轴极点：持续振荡或次指数行为；
• 左半平面极点：指数衰减。

这一几何图像把傅里叶谐波、拉普拉斯极点、系统稳定性和频率响应统一起来。