07-29-极点图

第 29 讲：拉普拉斯变换 IV——极点图

1. 传递函数与任意输入

若单位冲激响应满足

则

对静止初始条件下的任意输入

取拉普拉斯变换：

所以

时间域卷积

在 域变成普通乘法。

共振例子

静止初始条件下

因此

由

得到

这是振幅线性增长的共振响应。

原讲义该例的文字提取把 的分子与逆变换都误排；上述结果可由代回原方程直接核验。

2. -平移法则

对 ，定义延迟函数

$$ f_a(t)= \begin{cases} 0,&ta. \end{cases} $$

若 包含 ，则 包含 。

换元 ：

特别地，

3. 极点

若 在某点趋于无穷，该点称为 的极点。

例如，

在 有极点。

又如，

在

有两个极点，对应

极点图只标出复平面中的极点位置，却能快速揭示时间函数的主要长期行为。

4. 收敛域与极点

对因果函数，

由于 只依赖 ，收敛域通常是某条竖线右侧的半平面。对因果有理变换，它通常是最右极点右侧：

若 在有限时间 后恒为零，则积分只到 ，其变换可在整个复平面上解析，通常没有极点。

时间平移只把变换乘以无零点、无极点的 ，所以不改变极点图。由此可见，极点图看不到绝对时间延迟或相位平移。

5. 极点与长期行为

若极点位于

则相应长期模态通常具有：

• 指数包络 ；
• 圆频率 的振荡。

例 1

极点为

它表示圆频率 的持续振荡，没有指数增长或衰减。

例 2

极点为

它表示圆频率 的振荡，包络按 衰减。

例 3

极点为

最右极点 对应长期保留的常数项；复极点对应按 衰减的频率 振荡。

原讲义上述几个变换在文字提取中出现分子和变量误排；这里按标准拉普拉斯公式校正。

重极点还可能产生 的多项式因子，因此极点位置本身未必显示所有次指数增长细节，但仍确定指数增长率和振荡频率。

6. 主导极点

实部最大的极点最靠右，其对应模态衰减最慢或增长最快，因而支配长期行为。

特别地：

因此用拉普拉斯变换求解微分方程时，有时不必完全求出 ：仅从 的极点就能判断解的稳定性、长期增长率与主要振荡频率。