07-28-拉普拉斯变换三

第 28 讲：拉普拉斯变换 III

1. 广义导数与微积分基本定理

令

其普通导数部分为

由于 在 从 跳到 ，奇异部分为

因此广义导数是

也可用乘积法则：

再利用

对不连续函数，只有使用广义导数，微积分基本定理

才成立。例如 的普通导数说法会漏掉阶跃，而 正确给出跨越零点时的总变化 。

2. 普通导数的拉普拉斯公式

若因果函数 只在 跳跃，则

取拉普拉斯变换：

因此

例

用拉普拉斯变换解

变换：

所以

部分分式：

因此

逆变换：

3. -微分法则

若

则对 求导：

所以

例如，

故

这与 -导数法则

形成对照：时间域乘以 ，对应 域负微分。

4. 二阶导数

在静止初始条件下，并避免出现 等本课程不处理的更高奇异导数时，

若使用普通导数和一般初值，则熟知公式为

5. 二阶系统的冲激响应

求算子

的单位冲激响应：

变换：

所以

由

得到

6. 传递函数的一般公式

若

并采用静止初始条件，则

因此

也就是说：