07-27-拉普拉斯变换二

第 27 讲：拉普拉斯变换 II

1. 已知变换与规则

已知：

并有线性与 -平移：

例如，

2. 冲激信号

冲激的抽样性质为

因此对 ，

其收敛域是整个复平面。

特别地，

为了完整包含 处的冲激，拉普拉斯积分下限应理解为 ，即从零点左侧取极限。

3. 广义导数法则

对因果广义函数 ，分部积分给出

这里的 是包括 跳跃冲激在内的广义导数。

例如，

又如，把因果余弦写作 ，其广义导数为

变换为

4. 用拉普拉斯变换解初值问题

基本流程：

逆变换通常通过查表、代数整理与部分分式完成，而不是依赖一个简单万能公式。

拉普拉斯变换忽略普通函数在孤立点的任意改值，但能保留左右极限和冲激项。因此若两个广义函数的变换相同，它们的左右极限及所有冲激成分相同；在连续点处函数值也相同。

5. 单位冲激响应与传递函数

求算子 的单位冲激响应：

变换：

所以

逆变换：

单位冲激响应又称权函数；其拉普拉斯变换

称为系统的传递函数。

6. 部分分式

求解

变换：

部分分式分解：

所以

遮盖法可直接求系数：遮住 并令 ，得到 ；遮住 并令 ，得到 。

7. 普通导数与非零初值

若规定所有信号在 为零，而 ，则 在零点有跳跃。其广义导数为

其中 是 上的普通导数。因此

这就是教材中常见的初值导数公式。

例如，

变换：

所以

逆变换：

第一部分是零初值响应，附加的 调整齐次暂态以满足非零初值。

8. 当前规则表

原讲义末尾速查表在文字提取中把 写成 ，并漏掉冲激变换指数中的负号；正文推导给出了上述正确形式。