07-26-拉普拉斯变换基础

第 26 讲：拉普拉斯变换——定义与基本性质

继续考虑在 时为零的因果函数。

1. 定义

函数 的拉普拉斯变换定义为

其中 可为复数，并要求积分在相应区域收敛。

拉普拉斯变换：

1. 显示信号的长期增长或衰减；
2. 把冲激响应与系统特征多项式联系起来；
3. 把微分方程转化为代数方程。

对每个 ， 是 的加权积分。若 ，较晚时刻的函数值受到指数衰减权重。

2. 常数函数与收敛域

对 ，

其收敛域为

若

则

所以收敛只由 的实部控制。

若存在常数 ，使 时

则称 为指数阶函数。此时拉普拉斯积分通常在

收敛。函数 增长快于任意指数，没有通常意义下的拉普拉斯变换。

通过积分得到的解析表达式有时可以延拓到收敛域之外，但这些点上的解析延拓值不再由原始拉普拉斯积分直接给出。

3. 幂函数

分部积分得到递推：

从 出发：

例如，

4. 线性

因此

的变换为

5. -平移法则

若

则对任意复数 ，

这是因为

特别地，

更一般的收敛域应把原 的收敛域整体向右平移 。

6. 正弦与余弦

由欧拉公式和线性性，

因此

两者的收敛域均为

7. 域与 域

域	域
为非负实数	为复数
是普通或广义信号	常为漂亮的有理函数
信号满足微分方程	变换满足代数方程
系统组合使用卷积	对应普通乘法

拉普拉斯变换 把 域问题送到 域，逆拉普拉斯变换 再把结果带回时间域。