07-25-卷积

第 25 讲：卷积——冲激响应的叠加

1. 一般单位冲激响应的等价初值问题

设

单位冲激响应 由

及静止初始条件定义。

对 ，它等价于齐次方程

配以初值

例如，

等价于 上

2. 线性时不变系统的两个结果

微分可与系统交换

常系数保证

所以若

则

由于

单位阶跃响应 与单位冲激响应 满足

时间平移

若 是 的单位冲激响应，则输入 在 产生响应

例如，一阶系统 的冲激响应是

所以延迟冲激的响应为

3. 卷积定义

设因果函数 在 时都为零。定义卷积

卷积不是逐点乘积，而是把过去所有输入在当前时刻的残余影响累加起来。

4. 湖泊污染模型

设磷酸盐流入湖泊的速率为

湖中污染负荷 以与当前数量成正比的速率衰减：

该系统的单位冲激响应为

它表示在时刻 投入单位污染物后，经过 时间仍剩下的比例。

若在时刻 的短时间 内流入约

单位污染物，那么到时刻 仍剩

把从 到 的所有小时间段贡献相加并令 ，得到

本例为

冲激响应在积分中充当权函数：它描述每个过去输入对当前状态还保留多少影响。

5. 任意输入的系统响应

若 是 LTI 系统 的单位冲激响应，则对任意因果输入 ，静止初始条件下的响应为

二阶系统中，可以把输入想象成无数个微小冲击；每次冲击都会在未来产生一段衰减振铃，所有振铃通过线性叠加形成最终响应。

因此，一个 LTI 系统的单位冲激响应已经包含该系统对所有输入的完整信息。

6. 卷积的代数性质

卷积满足：

（分配律），以及

（单位元性质）。

结合律也可从系统串联理解：冲激依次通过冲激响应为 和 的两个系统，复合系统的冲激响应为 。任意输入 的输出既可写成

也可写成

两者必相同。