07-24-单位阶跃与冲激响应

第 24 讲：单位阶跃与冲激响应

1. 广义导数回顾

单位阶跃与冲激用于描述相对于观察尺度极短的事件：

广义函数写成

其中 分段光滑， 是移位冲激的线性组合。

若正则函数 在 有跳跃，则其广义导数包含

例如，

有

反过来，广义函数仍可积分：普通部分照常积分，冲激贡献相应跳变量。因此微积分基本定理仍保持形式

2. 静止初始条件

本单元采用以下约定：

1. 输入在 时为零；
2. 所求响应在 时为零；
3. 解具有方程允许的最高连续性。

这些统称为静止初始条件。

3. 一阶单位阶跃响应

考虑

它可表示从 起，以恒定速率 向系统输入物质。

寻找连续响应，因此

对 ，

通解为

由 得 ，所以

当 时得到单位阶跃响应

因为

在 代入方程：

4. 一阶单位冲激响应

考虑

冲激使状态在 跳跃：

在 时方程为齐次：

所以单位冲激响应为

对 ，

因此

阶跃响应和冲激响应满足

的广义函数关系。

5. 二阶单位阶跃响应

考虑无阻尼系统

并设

恒定特解为 ，因此 时

阶跃力不会使位置或速度瞬间跳跃，所以

由此

单位阶跃响应为

位置和速度连续，只有加速度在 发生跳变。

6. 二阶单位冲激响应

考虑

冲激力瞬间改变动量但不改变位置。对方程跨越 积分：

静止初始条件给出

对 ，解满足齐次方程

于是

由

得到

单位冲激响应为

并且

物理上，单位冲激使动量增加 ，之后系统按自身自然频率自由振动。