07-23-阶跃与冲激

第 23 讲：阶跃与冲激

本讲引入两个建模工具：

• Heaviside 阶跃函数；
• Dirac 冲激函数。

1. 单位阶跃函数

单位阶跃函数定义为

可暂不定义。它把实际中很快但并非瞬时的开关过程理想化为瞬间切换。

平移后，

在 开启。

若 $a

在 内开启、区间外关闭，是一个窗口。

要让函数 只在 保留，可写成

2. 从累计量到冲激

银行账户模型中，设累计净存款为 ，存款率为

若平时按每年 1 千美元存款，并在 突然存入 2 千美元，则

为了描述瞬时存款的“速率”，希望把阶跃的广义导数记为

不是普通函数，而是冲激理想化，具有：

• 全部作用集中在 ；
• 总积分为 。

于是存款率写成

若 又支出 3 千美元，

图上可在 画面积为 的向上“鱼叉”，在 画面积为 的冲激。

3. 正则函数、奇异函数与广义函数

若函数分段光滑，并且各段的所有相关阶导数都存在，端点处各阶单侧极限也存在，则称其为正则函数。

冲激函数的线性组合称为奇异部分。广义函数可以写成

其中 为正则部分， 为冲激的线性组合。

上面的存款率可分解为

（若只考虑 ，也可写成因果形式 ），以及

4. 广义导数

若分段光滑函数 在 有跳跃，则其广义导数包含

也就是说，冲激的系数正是跳跃高度。保留这些奇异项后，对广义导数积分才能恢复原函数（差一个常数）。

本单元中，对不连续函数求导均指广义导数。

5. 冲量

发射子弹时，极大的力在极短时间内作用。由

积分可知，力的时间积分引起动量 的突然变化，这称为冲量。

若子弹竖直发射：

• 发射前速度为零；
• 发射瞬间速度跳到 ；
• 飞行中速度以斜率 线性下降；
• 落地瞬间速度再次跳回零。

因此加速度的广义形式包括：

• 飞行期间的常规项 ；
• 发射时的正冲激；
• 落地时把负速度提升到零的正冲激。

冲激的面积等于相应速度跳变量。

6. Dirac 冲激作为分布

实际测量仪器不会读取某一零宽度瞬间，而会用平滑灵敏度函数 在一段时间内加权积分：

把函数 视为“对每个测试函数 给出一个数”的映射，就是分布观点。

Dirac 冲激由抽样性质定义：

更一般地，

因此 把测试函数在 的值抽取出来。它不是普通点值函数，而是作用于测试函数的线性泛函。

7. 人物

Oliver Heaviside（1850—1925）是英国数学工程师，他把麦克斯韦方程整理成今天常见的紧凑向量形式。

Paul A. M. Dirac（1902—1984）是理论物理学家，因相对论性电子理论获 1933 年诺贝尔物理学奖，并曾任剑桥大学卢卡斯数学教授。