07-22-傅里叶级数三

第 22 讲：傅里叶级数 III

1. 傅里叶级数的微分与积分

考虑 -周期函数，在 上

它是偶函数，平均值为

除不可导点外，

又因方波平均值为零，其积分仍是周期函数。使用

逐项从 到 积分：

常数项必须等于平均值 ，所以

因此

并得到

一般而言，周期函数的原函数不一定周期；它在原函数平均值为零时才可周期化而不产生线性漂移。

2. 巴塞尔问题

把所有正整数按

分组：

即

这是欧拉在 1736 年解决的著名巴塞尔问题。

3. 周期输入驱动简谐振子

考虑

其中 是周期输入。

对单一谐波：

有特解

而

有特解

当分母为零时发生共振，不存在同周期有界特解。

利用叠加原理，可逐个响应周期输入的傅里叶谐波。

例如方波输入

产生特解

若系统通过弹簧驱动，

则上述各项还要乘以 。

方波只有奇数谐波，因此只有

时发生共振；偶数频率不会共振。自然频率从某个奇数谐波 的下方穿过 时，主导项

会由大的负倍数翻转成大的正倍数。

4. 声音的谐波结构

周期为 的函数基本圆频率为

傅里叶级数可以写成振幅—相位形式：

若 表示耳膜处的压力变化， 是恒定的大气压，人耳感受到的是其余振荡分量。各 描述谐波强度，而 描述相对相位。

相位变化可以显著改变波形；在许多稳态听觉情境中，音色主要由各谐波振幅决定，人耳对相对相位通常不如对振幅敏感。