07-21-傅里叶级数二

第 21 讲：傅里叶级数 II

1. 回顾

周期为 的合理函数可展开为

傅里叶系数为

2. 标准方波

定义 -周期方波

方波是奇函数，因此

若 是奇函数，则 是偶函数，所以

对方波，

因此

于是

原讲义文字提取把 误排成 ；由积分计算及最终级数可确认正确形式。

若 是偶函数，也可将余弦系数化简为

3. 分段连续与跳跃点

函数若能分成有限个连续片段，并且每个断点 的左右极限

均存在且有限，则称为分段连续。

例如，方波分段连续，而 在 附近没有有限单侧极限，所以在包含 的区间上不属于这种分段连续情形。

在通常的傅里叶收敛条件下：

• 连续点处，级数收敛到 ；
• 跳跃点处，级数收敛到

若把函数在每个跳跃点的值也定义成上述平均值，则傅里叶级数在所有点都收敛到该函数。

傅里叶系数序列记录各谐波的强度，是对周期函数的一种变换。后续还会遇到适用于更广泛信号的拉普拉斯变换。

4. 莱布尼茨级数

在方波级数中令

由于

且 ，得到

所以

5. 从已知恒等式直接读出系数

傅里叶展开是唯一的，因此任何得到正确展开的代数或三角方法都可使用。

三角恒等式

因此只有

非零。

原讲义随后一句把这两个系数误写成 ，与前一行恒等式矛盾，这里已校正。

线性组合

平移

令

在方波级数中换元：

平移后的函数是偶函数，因此只出现余弦项。

6. 一般周期

若 的周期为 ，基本谐波为

其傅里叶级数为

系数公式为

例如，

的周期为 ，即 。在标准方波展开中令 ：

原讲义末行左侧在文字提取中误成 ，与其声明的周期 及所作换元不符。