07-20-周期信号与傅里叶级数

第 20 讲：周期信号与傅里叶级数

1. 周期函数

心跳、乐器声音和电子信号都可在一定时间范围内近似看成周期信号。

若存在 ，使

对所有 成立，则 是周期函数， 是一个周期。

常数函数的任意正数都是周期；非常数周期函数通常有最小正周期。任意长度为 的区间都能确定整个函数，常选对称窗口

2. 正弦、余弦与谐波

先考虑周期 ，基本窗口为

函数

都具有周期 ，其最小周期为 。它们称为基频正弦波的谐波。

周期相同的函数的线性组合仍具有该周期。因此可以构造

这称为傅里叶级数， 是傅里叶系数。

在通常的分段光滑条件下，傅里叶级数在连续点收敛到 ，在跳跃点收敛到左右极限的平均值。因此函数在跳跃点的单点取值不影响其傅里叶系数。

3. 方波

标准 -周期方波在一个基本区间上定义为

它是奇函数，因此用余弦逼近效果很差；其傅里叶级数只需奇数阶正弦谐波。前几个相对系数呈

的模式。

4. 奇偶性

若

称为偶函数；若

称为奇函数。

运算规律：

• 偶函数加偶函数仍为偶函数；
• 奇函数加奇函数仍为奇函数；
• 偶函数乘偶函数为偶函数；
• 奇函数乘奇函数为偶函数；
• 偶函数乘奇函数为奇函数。

是偶函数，

是奇函数。唯一既奇又偶的函数是零函数。

因此：

即其傅里叶级数只有余弦项；

即其傅里叶级数只有正弦项。

5. 平均值与常数项

-周期函数的平均值为

由于

傅里叶级数的平均值为 。所以

这解释了常数项写成 的原因。

6. 正交关系

在 上：

第一式也可由奇偶性立即得到；其余可用积化和差公式证明。

7. 傅里叶系数公式

把傅里叶级数乘以 后在 上积分。由于正交性，除 外的所有项都消失，因此

同理，

这些积分把任意合理周期信号分解为各个谐波频率上的分量。