08-3-速度加速度与Kepler第二定律

Week 3：速度、加速度与 Kepler 第二定律

本周包含 2007 年 9 月 18 日第 6 讲，以及 9 月 20 日第 7 讲的复习提纲。

第 6 讲：速度与加速度

位置向量

平面运动的位置向量写为：

空间运动还包括 分量：

摆线的一个参数表示为：

这里已令圆半径 。

速度向量

速度是位置向量对时间的导数：

摆线的速度为：

当 时：

此时圆的平移运动与绕圆心的转动运动在轮缘接触点恰好相互抵消。

当 时：

此时两种运动方向相同，速度相加。

速率

速率是速度向量的长度：

对摆线：

它在

时最小，在

时最大。

加速度

加速度是速度对时间的导数，也是位置的二阶导数：

摆线的加速度为：

当 时：

加速度竖直向上。

需要特别注意：

一般并不相等。左边是沿轨迹运动的速率，右边是物体到原点距离的变化率。

弧长与单位切向量

令 表示沿轨迹走过的弧长，则：

因此从 到 的轨迹长度为：

例如，一拱摆线的长度可写成：

讲义指出直接看这一形式并不容易；进一步利用

可把它化简并求出结果 （单位圆情形）。

单位切向量定义为：

由链式法则：

因为

所以：

几何上，在很短时间 内：

两边除以 并令 ，就得到上式。

Kepler 第二定律

Kepler 在 1609 年提出行星运动定律，其中第二定律说：

太阳到行星的连线在相等时间内扫过相等面积。

也就是说，面积扫掠率为常数。Newton 后来用万有引力定律解释了这一现象。

设太阳为原点，行星位置向量为 。在短时间 内：

扫过的小面积近似为三角形面积：

所以：

因此面积扫掠率为：

行星运动位于一个固定平面内，因此 的方向垂直于该平面。Kepler 第二定律可写成向量形式：

从乘积法则到中心力

向量函数的点积和叉积都满足乘积法则。对叉积要保持因子次序，因为叉积不满足交换律：

于是：

因此：

叉积为零表示：

由 Newton 第二定律 ，力也沿径向：

所以 Kepler 第二定律的本质是：行星受到的是中心力。这个结论不只适用于引力，也适用于其他中心力，例如点电荷之间的 Coulomb 力。

第 7 讲：第一次考试复习

本讲复习范围包括此前课堂中的全部内容：

1. 向量与点积

   用点积求长度、夹角和判断正交。

2. 叉积

   空间三角形面积：

   平面方程中 的系数是法向量的分量。

3. 矩阵与线性方程组

   包括矩阵乘法、逆矩阵以及线性系统的几何解释。

4. 参数方程与向量微分

   通过位置向量分解构造参数方程；求速度、加速度，并对向量恒等式求导。