08-4-多变量函数偏导数与二阶导数判别

Week 4：多变量函数、偏导数与二阶导数判别

本周包含 2007 年 9 月 25、27、28 日的第 8–10 讲。

第 8 讲：多变量函数与偏导数

二元函数的图像

对一元函数 ，可以在平面中绘制图像，其导数是图像切线的斜率。

对二元函数

图像是三维空间中的曲面。理解曲面的一种方法，是用坐标平面或与坐标平面平行的平面切割曲面，研究所得截线。

例如：

是一张与 方向平行的平面；

是一张开口向下的旋转抛物面。

还可比较：

是开口向上的旋转抛物面，而

是双曲抛物面，即马鞍面。

等高线图

等高线是满足

的平面曲线。它相当于用水平面

切割函数曲面，再把截线投影到 平面。

真实世界中的例子包括：

• 地形图中的等高线；
• 温度分布图中的等温线。

对

等高线为

即一组水平直线。

对

等高线满足

是一组同心圆。

等高线图虽然不直接显示高度，却能定性反映 随 的变化方向和快慢：等高线越密，函数变化通常越快。

偏导数

在点 处，关于 的偏导数定义为：

类似地：

几何上：

• 是固定 后，曲面竖直截线的切线斜率；
• 是固定 后，另一条竖直截线的切线斜率。

计算 时，把 当变量、 当常数；计算 时则相反。

例如：

则：

第 9 讲：线性近似、切平面与极值

线性近似

当 很小时：

这里所有偏导数都在基点 处计算。

固定 时， 方向切线为：

固定 时， 方向切线为：

这两条切线确定曲面的切平面：

线性近似的几何意义是：在足够靠近 的地方，函数曲面接近其切平面。

临界点

若 是内部局部最大值或局部最小值，并且偏导数存在，则两个坐标方向的切线斜率都必须为零：

定义：满足

的点称为临界点。

临界点可能是：

• 局部最小点；
• 局部最大点；
• 鞍点。

示例

设：

一阶偏导为：

令二者为零：

解得唯一临界点：

配方：

因此：

且等号在 处取得，所以该点是全局最小点。

最小二乘直线拟合

给定实验数据：

希望找最佳拟合直线：

这里未知量是 。第 个点的偏差为：

总平方偏差为：

最佳拟合要求：

得到正规方程：

这是关于 的 线性系统。

同样的方法可用于：

• 指数规律

  取对数：

  令 ，转化为线性拟合；

• 二次规律

  最小化平方偏差后得到关于 的 线性系统。

Moore 定律是指数拟合的经典例子：芯片晶体管数量随时间大致呈指数增长，在对数坐标图上近似为直线。

第 10 讲：二阶导数判别法

二次型的三种情形

先研究：

在 附近的行为。

若 ，配方得：

由此分为：

1. 若

   两个平方项同号：

   • ：局部最小；
   • ：局部最大。

2. 若

   两项异号， 在不同方向取正值和负值，所以是鞍点。

3. 若

   是退化情形，二次项不足以判定。

这也与一元二次方程的判别式有关。把

看作关于 的二次式：

• ：二次式不变号，对应最大或最小；
• ：二次式跨过零并变号，对应鞍点。

一般二阶导数判别法

设 在临界点 附近二阶可微。记：

在适当光滑条件下：

定义判别量：

则：

• 若 且 ，临界点是局部最小点；
• 若 且 ，临界点是局部最大点；
• 若 ，临界点是鞍点；
• 若 ，二阶导数判别法不能得出结论。

对二次函数

有：

所以：

与前面的配方判别完全一致。

二阶 Taylor 近似

在 附近：

在临界点，一阶项消失：

所以临界点的局部类型由这个二次型决定。若 ，二次型退化，需要检查更高阶项。

局部极值与全局极值

全局最大值或最小值不一定出现在临界点。还必须检查：

• 定义域边界；
• 无穷远处的行为；
• 函数不光滑或偏导不存在的点。

例如，在 上：

一阶偏导为：

临界点条件给出：

所以唯一临界点为：

二阶偏导为：

在 ：

因此：

且 ，所以 是局部最小点。

当 、，或 趋于无穷时：

因此函数没有全局最大值，而 实际上是全局最小点。