Week 13：空间旋度、Stokes 定理与路径无关性
本周包含 2007 年 11 月 27、29、30 日的第 30–32 讲。
第 30 讲：空间线积分、梯度场与旋度
扩散方程回顾
浓度
结合得到：
空间曲线上的线积分
设：
力沿曲线做功：
曲线只有一个自由度，所以必须把
示例
微分：
所以：
取另一条折线路径
前两段在
因此：
两条路径结果相同，因为：
由线积分基本定理：
三维梯度场的判别
若：
则混合偏导给出：
在整个空间或单连通区域内，这三个等式也足以保证
参数判别示例
考虑：
比较：
得到：
自动满足。
得到：
所以只有：
时该场是梯度场。
系统求势函数
此时：
先对
对
所以：
于是：
对
比较得：
最终：
另一种方法是从固定基点沿三条平行于坐标轴的线段积分：
三维旋度
三维旋度定义为：
可用形式行列式记忆：
而散度为：
旋度衡量速度场的局部旋转分量。若绕
则：
旋度方向给出旋转轴，长度是角速度的两倍。
第 31 讲：Stokes 定理
Stokes 定理是 Green 环流定理的三维推广，正如散度定理是 Green 通量定理的三维推广。
设
左边是边界环流，右边是旋度穿过曲面的通量。
方向约定
方向可用右手定则确定：
- 右手拇指指向所选法向
； - 弯曲四指的方向就是
的正向。
等价地，沿
同时反转
Green 定理是 Stokes 定理的平面情形
若
并令：
边界上
而：
Stokes 定理变为：
正是 Green 定理。
曲面可自由选择
只要边界是同一个
- 平面圆盘；
- 半球面；
- 圆锥面；
- 其他跨过同一边界的曲面。
这常能把困难的曲面积分替换为简单曲面上的积分。
证明思路
- 若曲面在某个平面内，定理由该平面上的 Green 定理得到；
- 一般曲面可分割成许多近似平面的小片；
- 每一小片上应用平面 Green 定理；
- 相邻小片公共边界的线积分方向相反，互相抵消；
- 只剩外边界
，而小片旋度通量相加成为整个 上的通量。
验证示例
设：
直接计算边界线积分
所以：
用 Stokes 定理
抛物面向上向量面积元：
所以：
在单位圆盘上，由对称性：
因此：
与边界线积分一致。
第 32 讲：路径无关性、可定向性与曲面无关性
三维单连通性
三维区域称为单连通，如果区域中每个闭曲线都能作为某个完全位于该区域内的曲面的边界。
例：
- 去掉
轴的空间不是单连通的；绕 轴的环不能在定义域内张成曲面； - 去掉一个点的三维空间是单连通的；闭环通常可以绕开该点张成曲面。
拓扑学用这种性质区分空间和曲面。例如球面单连通，而环面不是；环面上有不能在曲面内收缩为一点的基本闭环。
零旋度与保守场
若：
则：
反过来，在单连通区域中：
证明：取有相同端点的两条曲线
是闭曲线。单连通性保证存在区域内曲面
所以线积分路径无关。
可定向曲面
应用 Stokes 定理需要曲面具有连续一致的单位法向量，也就是曲面必须可定向。
Möbius 带是单侧曲面，沿曲面绕行一周后法向会反向，无法全局一致选择法向，因此不能定义其整体通量。
若要对 Möbius 带的边界应用 Stokes 定理，必须另找一个以同一闭曲线为边界的双侧可定向曲面。
旋度通量的曲面无关性
若同一闭曲线
也可直接证明。把
由散度定理：
恒等式：
使右边为零，于是两曲面通量相等。这类似普通向量恒等式：
第四次考试复习
1. 三重积分
可用：
直角坐标
柱坐标
球坐标
应用包括质量、质心、转动惯量与引力。
2. 曲面积分与通量
常见公式：
3. 空间线积分
用单一参数表示空间曲线。
三座桥梁定理
线积分基本定理：
Stokes 定理：
散度定理：
$$
\iint_{\partial D}
\mathbf F\cdot d\mathbf S\iiint_D
\nabla\cdot\mathbf F,dV.
$$
还需掌握：给定零旋度场，判定并求势函数。
