08-14-div与curl的物理应用

Week 14：散度与旋度的物理应用

内容为 2007 年 12 月 6 日第 33 讲。

速度场中的旋度与散度

速度场的旋度等于局部旋转分量的两倍角速度向量。

例如，绕 轴以角速度 匀速转动：

则：

旋度从复杂运动中提取局部旋转分量；散度则提取局部膨胀或压缩分量。

力场中的旋度

设单位质量受到的加速度场为：

位于 处的小质量 受到的力为：

该力关于原点的转矩为：

对连续实体：

平动动力学中：

转动动力学中：

局部类比说明，旋度刻画场施加旋转的能力；讲义概括为：

若力场来自势函数：

或物理约定下：

则：

理想点质点模型中的保守引力不会直接产生局部旋转转矩。不过真实天体可以形变，潮汐和摩擦会交换角动量；月球自转与公转同步就是相关物理效应的结果。

电场的散度：Gauss-Coulomb 定律

Maxwell 方程组的一条方程为：

其中：

• ：电场；
• ：电荷体密度；
• ：真空介电常数。

对闭曲面 ，应用散度定理：

令：

得到 Gauss 定律：

它说明穿出闭曲面的总电通量由内部总电荷决定。例如，电容器两极板之间的电场、电压与极板电荷之间的关系受此定律约束。

电场的旋度：Faraday 电磁感应定律

Faraday 定律为：

其中 是磁场。

如果磁场随时间变化，则电场旋度不再为零，电场一般不是保守场。对闭合导线回路 ，由 Stokes 定理：

若曲面固定，可把时间导数移到积分外：

右边是磁通量变化率的负值。左边是闭合回路中的感应电动势。

变压器利用这一原理：

1. 交流电流通过缠绕在磁芯上的输入线圈；
2. 产生随时间变化的磁场；
3. 变化磁通穿过输出线圈；
4. 在输出线圈中产生感应电压。

磁场的另外两条 Maxwell 方程

磁场无散度：

这表示不存在孤立磁单极子；穿出任意闭曲面的净磁通量为零。

Ampère-Maxwell 定律为：

其中：

• ：电流密度；
• ：真空磁导率；
• 第二项是 Maxwell 加入的位移电流项。

四条 Maxwell 方程把电荷、电流、电场和磁场联系起来：

散度描述场的源，旋度描述场的环流与旋转；散度定理和 Stokes 定理把这些局部微分规律转化为可测量的整体积分规律。