02-求解线性方程

第二部分：求解线性方程

本文件对应原 PDF 第 16-22 页。这里 是 方阵。

本部分内容

• 2.1 逆矩阵 与解
• 2.2 三角矩阵及 的回代法
• 2.3 消元：将方阵 化为上三角矩阵
• 2.4 为获得非零主元而交换行：置换矩阵
• 2.5 不交换行的消元：为什么
• 2.6 转置、对称矩阵与点积

2.1 逆矩阵 与解

方阵 的逆矩阵满足

例如：

一般的二阶矩阵满足

如果 ，则 没有逆矩阵。例如：

没有逆矩阵；它的行线性相关，列也线性相关。

关于可逆性的几个重要结论：

1. 可逆，当且仅当它的行线性无关，也当且仅当它的列线性无关。

2. 一个三角矩阵可逆，当且仅当其主对角线上没有零元素。

3. 若 且 ，则

   因此方阵的左逆与右逆相同。

4. 可逆，当且仅当对每个 ，方程 的唯一解为

5. 可逆，当且仅当 ，并且

6. 若 都可逆，则乘积的逆要按相反次序排列：

   因为

7. 为求解 而显式计算 通常效率不高。实际计算应使用第 2.3 节的消元法。

2.2 三角矩阵及 的回代法

考虑方程

不必求 ，只需利用上三角结构从下向上回代。主元 均非零。

1. 最后一行给出

2. 向上一行：

3. 再向上一行：

因此唯一解为

在依次求解 时，我们分别除以主元 。如果 中出现零主元，就会产生线性相关的行和列，此时 不存在。

下面这个差分矩阵的逆是累加矩阵：

这与微积分中的基本关系相呼应：微分的逆运算是积分，

2.3 消元：将方阵 化为上三角矩阵

从

开始消元：

一次消元步骤从第 行减去第 行的 倍，其中 。每一步都在 的主对角线下方产生一个零。在本例中：

消元的逆操作，是把第 行的 倍加回第 行。相应的基本消元矩阵满足：

因此：

其中 是下三角矩阵， 是上三角矩阵。本例得到

消元过程中主对角线上没有出现零，并在 中产生了三个零。

求解 时，可以把 作为增广矩阵的最后一列，一起进行消元：

随后回代得到

2.4 为获得非零主元而交换行：置换矩阵

如果某个对角主元为零或过小，就应在它的下方寻找更好的主元，并交换两行。例如：

经过行交换得到

新的两个主元是 和 ，均非零。

置换矩阵 是把单位矩阵 的各行按任意次序重排所得的矩阵。 行共有 种排列，因此有 个 阶置换矩阵，其中包括 。

置换矩阵的逆等于其转置：

例如：

置换矩阵的乘法一般不满足交换律，并非总有 。

如果 可逆，那么一定存在某个置换矩阵 ，使 的消元过程不出现零主元，并且

置换矩阵可以完成多种重排，例如把顺序完全反转：

也可以进行循环移位：

2.5 不交换行的消元：为什么

核心原因是：消元的每一步都从当前矩阵中去掉一个“ 的列乘 的行”所形成的秩一矩阵。

第一步从 中去掉

其中 是 的第一主元行。去掉这个秩一矩阵以后，余下的矩阵 的第一行和第一列都为零：

然后对 做同样的操作。第二步去掉

其中 是 的第二主元行，也就是 的第二行。余下的 具有形式

继续这一过程，每一步都去掉一个列向量 与 的主元行 的外积。最后把这些秩一部分加回来：

把列向量和行向量分别排成矩阵：

这正是第 1.6 节的“列乘行”矩阵乘法。 的第 列和 的第 行都以 个零开始，因此 为下三角矩阵， 为上三角矩阵。

若各个消元矩阵依次为 ，则

从而

2.6 转置、对称矩阵与点积

矩阵

的转置为

转置满足以下运算规则：

若矩阵 满足

则称 为对称矩阵。这意味着每个元素都满足 。

和 都是对称矩阵，但它们通常不相同。例如：

而

对称矩阵的 分解可改进为

其中 的主元被移入对角矩阵 。例如：

点积也常出现在实际量的计算中：

一般地，