03-向量空间与子空间

第三部分：向量空间与子空间、基与维数

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本部分内容

• 3.1 向量空间与四个基本子空间
• 3.2 向量空间 的基与维数
• 3.3 列空间与行空间：通过消元求基
• 3.4 与 ：零空间解与特解
• 3.5 四个基本子空间
• 3.6 图、关联矩阵与 Kirchhoff 定律
• 3.7 每个矩阵 都有伪逆

3.1 向量空间与四个基本子空间

向量空间的基本要求是：空间 中向量的任何线性组合仍然属于 。

向量空间的例子包括：

• 整个 ；
• 的任意子空间；
• 全体 实矩阵组成的空间 ；
• 全体形如 的函数组成的空间。

以下集合不是向量空间：

• 半直线 ，因为乘以负数后可能离开该集合；
• 全体可逆矩阵，因为两个可逆矩阵的和不一定可逆；
• 全体奇异矩阵，因为两个奇异矩阵的和可能可逆。

的子空间只有以下类型：

• 整个 ；
• 经过原点 的平面；
• 经过原点的直线；
• 只含零向量的零子空间。

对于一个 矩阵 ，有四个基本子空间：

1. 列空间

   它也称为 的值域（range），是 的子空间。

2. 行空间

   它是 的子空间。

3. 零空间

   它也称为 的核（kernel），是 的子空间。

4. 左零空间

   它是 的子空间。

任意一组向量都能张成一个向量空间，这个空间包含它们的所有线性组合。

3.2 向量空间 的基与维数

向量空间 的一组基，是能够张成 的一组线性无关向量。因此， 中每个向量都能唯一地表示成这些基向量的线性组合。

的维数，是它任意一组基中所含向量的数量。同一空间的所有基都包含相同数量的向量。

例如：

的列空间是 中的 平面。它的前两列

构成 的一组基。

另一组基可以是

这个平面有无穷多组基，但每组基总是包含两个向量。因此：

该矩阵的零空间是 中的 轴：

它的一组基为

所以

注意 。这是秩-零度关系的一个例子。

矩阵本身也可以组成向量空间：

• 全体 矩阵组成的空间维数为 ；
• 全体 上三角矩阵组成的子空间维数为 。

为什么所有基含有相同数量的向量

设 和 都是同一空间的基。因为 能张成整个空间，所以每个 都能表示成 的线性组合：

即

如果 ，则 必有非零解 。这将导致

说明 的列线性相关，与 是一组基矛盾。因此 。交换两组基的角色又可得 ，所以 。

3.3 列空间与行空间：通过消元求基

把矩阵化为简化行阶梯形（reduced row echelon form，RREF）时：

1. 把每个主元化为 ；
2. 消去主元下方的元素；
3. 再消去主元上方的元素。

例如：

简化行阶梯形记为

它有 个以主元 开始的非零行，以及 个零行。这里

所以 有 个线性无关列和 个线性无关行。

再看一个矩形矩阵：

如果需要交换列，可用置换矩阵 表示。一般形式为

其中 标出 个主元列：

• 列空间的一组基 ，由原矩阵 的前 个线性无关列构成；

• 行空间的一组基可取

• 并有秩分解

例如：

因此

这个矩阵的行秩和列秩都为 。

3.4 与 ：零空间解与特解

考虑

消元得到

第 1、3 列是主元列，第 2、4 列是自由列。令一个自由变量为 、另一个为 ，即可得到零空间的两个特殊解：

它们满足

矩阵 中的数 表明：原矩阵的相关列 2 和 4 可以由独立列 1 和 3 线性表示。消元把 化为 ，从而揭示出 个特殊解。

一般地，若

则零空间基矩阵为

因为 ，所以

这里有 个独立方程，并有 个独立的零空间方向。

方程 的完整解为

即任意零空间解加上一个特解。

对增广矩阵做消元：

令自由变量为零，可取特解

如果再加入一个方程，消元后可能出现

若 ，最后一行要求 ，因此方程组无解。在原例中，这个相容条件可写成

消元要得到 ，方程组才相容。

3.5 四个基本子空间

设 是 矩阵，秩为 。线性代数基本定理第一部分给出：

子空间	所在空间	定义	维数
行空间		所有
零空间		的全部解
列空间		所有
左零空间		的全部解

因此：

这也给出齐次方程 的计数定理：

对含 个方程、 个未知数且秩为 的系统， 有 个线性无关的解方向。

因为 ，解方向至少有 个。若方程线性相关，则 ，解方向会更多。特别地，当 时， 一定存在非零解。

3.6 图、关联矩阵与 Kirchhoff 定律

考虑一个含 4 个节点、5 条边的有向图，其关联矩阵为

矩阵 为 ：

• 节点变量 可表示电压；
• 边变量 可表示电流。

边 1、2、3 形成图中的一个回路，所以对应的第 1、2、3 行线性相关。边 1、2、4 形成一棵树；树不含回路，因此这些行线性无关。

设一个连通图有 个节点、 条边，其关联矩阵为 。则

四个基本子空间具有以下图论解释：

零空间

常向量

构成 的零空间，因为所有节点电压同时增加同一个常数不会改变边上的电压差。因此

行空间

任意一棵生成树的边对应 的 个线性无关行，所以

列空间 ：电压定律

的各分量是边上的电压差。沿任意闭合回路，这些电压差之和为零。列空间的维数为

左零空间 ：电流定律

表示每个节点处的 Kirchhoff 电流定律。回路电流给出其解。图中独立小回路的数量为

在每个节点满足的电流定律 ，是应用数学中的一个基本结构。

3.7 每个矩阵 都有伪逆

例如：

若 可逆，则必须有

此时

当 满列秩，即 时，存在左逆：

当 满行秩，即 时，存在右逆：

若 是秩分解，则

次序发生反转，与普通可逆矩阵乘积的逆类似。

把行空间映射到列空间，而 把列空间反向映射到行空间：

对任意 ，

是 在列空间 上的正交投影；对任意 ，

是 在行空间 上的正交投影。

若

则

并且

在适合四个基本子空间的正交基下，两个投影矩阵具有分块形式：

对应“行空间 零空间”，而

对应“列空间 左零空间”。

伪逆可以通过奇异值分解计算。若

则

其中 把所有非零奇异值 替换为 ，而零奇异值仍保持为零。

秩一矩阵示例

设

的秩为 。它的行空间是 中的一条直线，列空间是 中的一条直线。

伪逆把行空间和列空间的方向互换：

验证可得

它是到 的行空间的正交投影；而

它是到 的列空间的正交投影。