05-方阵的行列式

第五部分：方阵的行列式

本文件对应原 PDF 第 37-41 页。

本部分内容

• 5.1 三阶与 阶行列式
• 5.2 余子式与 的公式
• 5.3 与 Cramer 法则
• 5.4 平行多面体体积

5.1 三阶与 阶行列式

三阶置换矩阵共有

个。其中偶置换矩阵满足

奇置换矩阵满足

行列式由三个基本性质定义：

1. 交换矩阵的两行，行列式变号；
2. 固定其余各行时，行列式对每一行分别是线性的；
3. 。

设

利用对每一行的线性，可以把 展开为 个简单行列式：

每一项恰好从每一行和每一列各取一个元素。

一般的 行列式共有 项。对列指标的所有排列 求和：

例如二阶行列式为

5.2 余子式与 的公式

对三阶矩阵

沿第一行展开行列式：

每个元素 都乘以一个二阶行列式。

从 中删去第 行和第 列，所得 子矩阵的行列式再乘以符号 ，称为元素 的余子式：

沿第 1 行的 Laplace 展开为

设 为余子式矩阵，则逆矩阵公式为

因此， 的每个元素都是一个 阶行列式除以 阶行列式 。

二阶情形

于是

三阶情形

对

余子式矩阵为

矩阵乘法给出

主对角线元素是沿某行的余子式展开，等于 ；非对角线元素相当于对含两个相同行的矩阵求行列式，因此为零。这就解释了

5.3 行列式乘法公式与 Cramer 法则

行列式满足：

若 为正交矩阵，则

蕴含

所以

若 为上三角矩阵，则

若 且 的主对角线全为 ，则

即 等于所有主元的乘积；若消元中发生行交换，还需相应改变符号。

Cramer 法则

设 可逆，要求解

令 表示把 的第 列替换成 后所得的矩阵，则

例如，对三阶系统，第一个分量可由

得到：

同理，把第 2 列替换为 可得到

数值示例：

这里

因此

Cramer 法则在理论上很优美，但在实际数值计算中通常效率不高，因为它需要计算太多行列式。

5.4 平行多面体体积

在二维中，向量

张成一个平行四边形。把边向量排成边矩阵

对 做 分解：

正交矩阵 只旋转或反射图形，不改变面积。三角矩阵 对应底边长度 和高 ，所以面积为

又因为 ，所以

在三维中，把平行六面体的三个边向量排成矩阵 ，其体积为

通过 分解进行正交旋转后，体积不变，而三角矩阵 对应的体积为

单位立方体的边矩阵是单位矩阵，因此体积为 。

更一般地，对任意区域，把所有点都乘以矩阵 后：

若只关心带方向的体积，则缩放因子为 ；负号表示方向发生反转。