06-特征值与特征向量

第六部分：特征值与特征向量

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本部分内容

• 6.1 特征值 与特征向量 ：
• 6.2 矩阵的对角化：
• 6.3 对称正定矩阵：五种判别方法
• 6.4 线性微分方程
• 6.5 工程中的矩阵：二阶差分

6.1 特征值与特征向量

若矩阵 作用于非零向量 后，所得向量仍位于 所在的同一直线上，即

则称 是 的特征向量， 是对应的特征值。

这个方程等价于

沿着特征向量方向，矩阵的高次幂非常简单：

如果 可逆且 ，则

要使 存在非零解，必须有

这个特征方程给出 矩阵的 个特征值（按代数重数计数，允许复数）。

示例

设

则

所以

当 时，

给出一个特征向量

当 时，

可取

现在计算

先把初始向量分解到两个特征向量方向：

两个方向分别按各自特征值的十次幂缩放：

第二项很快趋近于零，而第一项保持不变。

特征值还满足两个重要恒等式：

但一般来说：

只有在存在共同特征向量等特殊条件下，才能逐个对应地做这种运算。

6.2 矩阵的对角化

对角化的核心思想是：分别跟踪每一个特征向量，把一个矩阵问题拆成 个简单的标量问题。

把 个线性无关的特征向量排成特征向量矩阵：

由于这些列线性无关， 可逆。逐列应用 ：

令

则

因此：

矩阵幂随之变得容易：

其中

矩阵幂示例

有特征向量矩阵和特征值矩阵

于是

何时趋于零

如果 可对角化，则

当且仅当所有特征值都满足

更一般地，这个结论仍由谱半径决定。

并非所有矩阵都能对角化

例如：

有二重特征值 ，却只有一个独立特征向量

因此它没有两个线性无关的特征向量，不能对角化。

相似矩阵

所有形如

的矩阵都与 相似，并具有与 相同的特征值。因为若

则

所以 是 对应于同一特征值 的特征向量。

6.3 对称正定矩阵：五种判别方法

若

则 的所有特征值都是实数，并且不同特征值对应的特征向量相互正交。

例如：

有

两个特征向量正交：

将特征向量单位化后得到正交矩阵 ，满足

因此对称矩阵具有谱分解：

本例中：

正定矩阵的五种等价判别

对称矩阵 正定，当且仅当以下任一条件成立：

1. 的所有特征值都为正；

2. 对每个非零向量 ，能量

3. 对 消元时，所有主元都为正；

4. 的所有顺序主子式（左上角行列式）都为正；

5. 存在列线性无关矩阵 ，使

正半定矩阵允许是奇异的。任何矩阵 都使

正半定；此时特征值、能量、主元或顺序主子式可以等于零，但不能为负。

例如：

它正定的条件是

正半定的条件是

二阶差分矩阵

是正定矩阵。

而

是正半定矩阵，因为

6.4 线性微分方程

标量方程

的解为

对常系数矩阵系统

若

则

是一个解。验证如下：

例如：

有特征值 和特征向量 。因此

是系统的一个解。

要满足初值 ，先把它分解为特征向量的线性组合：

每个特征向量方向分别按照自己的指数因子演化：

如果存在重特征值却缺少足够的特征向量，就需要广义特征向量。Jordan 块会产生形如

的项，其中 是满足 的广义特征向量；关键的新因子是 。

系统渐近稳定，即

当所有特征值

的实部都满足

如果一个特征值移动到 ，其余特征值实部仍为负，则系统可趋于一个非零稳态。

矩阵指数

矩阵指数 是系统的解矩阵：

对特征向量 ：

矩阵指数由幂级数定义：

特别地，

6.5 工程中的矩阵：二阶差分

函数的一阶导数可由中心差分近似：

二阶导数可由二阶差分近似：

设边界条件为

内部未知量为

则负二阶导数的离散近似为

矩阵

具有：

它的能量为

对每个非零 都成立，所以 正定。

这一矩阵也出现在弹簧-质量系统中：

• 在稳态问题中，弹簧力与重力平衡，

  解 给出各质量块的位移；

• 在振动问题中，弹簧拉动质量块，Newton 第二定律给出

  的特征值决定系统的固有振动频率，特征向量给出振型。