01-第1讲-集合与计数

1. 课程介绍

欢迎学习 18.05《概率与统计导论》。

本讲议程：

• 介绍教师与课程；
• 说明课程安排；
• 从集合与计数开始学习概率。

课程网站与工具

• MITx：提供阅读材料、习题集、课堂幻灯片与答案。
• Canvas：汇总各项课程链接。
• Gradescope：提交习题集和测验。
• Piazza：异步问答论坛，学生可以互相提问和回答，教学团队也会参与。

课程采用主动学习方式。课前应完成阅读和阅读问题；课堂由简短讲授、概念题和分组解题组成。每周五为计算实践课，需要携带电脑。课程使用 R 进行计算、模拟与可视化，不要求高强度编程经验。

习题通常在周一晚 10 点前提交。MITx 可用于预先核对数值答案，但评分重点包括推理过程与解释。

下次课前：

1. 熟悉 MITx 课程网站；
2. 安装 R 和 RStudio；
3. 加入 Piazza；
4. 阅读第 1 讲笔记；
5. 完成第 2 讲的课前阅读问题。

2. 概率与统计

概率和统计都研究随机过程，但两者的任务不同。

概率论：

• 逻辑体系相对自足；
• 从少数基本规则出发计算概率；
• 在给定模型与条件下通常有确定答案。

统计学：

• 从实验数据出发，利用概率作推断；
• 建模和方法选择带有判断成分；
• 往往不存在唯一正确的分析答案。

3. 计数问题的动机

例 1：抛硬币

公平硬币抛掷 3 次，恰好出现 1 次正面的概率是多少？

所有等可能结果共有 种。恰好一次正面的结果为

所以概率为

例 2：扑克牌中的一对

一副牌有 52 张：

• 13 种点数：；
• 4 种花色。

五张牌构成的“一对”是指：其中两张点数相同，其余三张分别具有三个不同点数，而且均不同于这一对的点数。

例如：

一对牌型的数量为

五张牌总数为 ，因此

所以概念题的答案是“大于 ”。

4. 集合及其运算

以“月份名称中是否含字母 r”为例。令

则

交集

表示“既有 31 天、英文名称又含 r 的月份”。

常见集合运算：

• ：并集，至少属于 之一；
• ：交集，同时属于二者；
• ：补集，不属于 ；
• ：属于 但不属于 。

这些关系可以用维恩图表示。

5. 集合的笛卡尔积

若 为有限集，则

这正是计数中的乘法原理。

6. 容斥原理

对于两个有限集合 ，

相交部分在 中被重复计算了一次，所以必须减去一次。

课堂题：乐队人数

某乐队中 7 人唱歌，4 人弹吉他，2 人两者都会。乐队共有

人。

7. 乘法原理

若第一步有 种选择，且对每一种第一步选择，第二步都有 种选择，则两步组合共有

种。

例如，3 件衬衫与 4 条裤子可以组成

套服装。

DNA 序列

DNA 的字母表为 。

长度为 3 的序列共有

个。

若不允许重复，则依次有 种选择，所以共有

个。

奥运会奖牌

100 米决赛有 5 名选手。金、银、铜牌分别授予不同选手，共有

种颁奖方式。

服装搭配与分类计数

衣柜中有：

• 衬衫：3 件黑色、3 件红色、2 件绿色；
• 毛衣：1 件黑色、2 件红色、1 件绿色；
• 裤子：2 条牛仔、2 条黑色。

红色和绿色不能同时穿；黑色或牛仔色可与任何颜色搭配。按衬衫颜色分类，再沿选择树使用乘法原理：

因此共有 100 种可穿的搭配。这个例子说明：当后续可选数取决于前面的选择时，应先分类，再分别使用乘法原理并求和。

8. 排列

排列是把对象排成有顺序的序列。

例如，集合 的全排列共有 6 个；从 中选两个并排序共有 12 个。

从 个不同对象中取出 个并排序，排列数为

例如，从 中取 3 个的排列数为

9. 组合

组合是选择子集，顺序不重要。

从 中选 3 个的组合为

从 个不同对象中选 个，组合数为

每一个 元子集都能产生 个有序排列，因此

这也给出组合公式。

10. 课堂题：10 次抛硬币中恰好 3 次正面

要指定恰好 3 次正面，只需从 10 个位置中选择 3 个放置正面，所以结果数为

公平硬币的 种正反面序列等可能，因此

本讲要点

1. 用集合语言描述样本与事件；
2. 用容斥原理修正重复计数；
3. 用乘法原理处理分步选择；
4. 排列考虑顺序，组合不考虑顺序；
5. 在等可能结果模型中，