02-Cantor 的基数理论

函数

若 是集合，函数

把每个 指派给 中唯一的元素 。

若 ，定义像

若 ，定义原像

对函数 ：

1. 若

则 是单射；

2. 若 ，则 是满射；
3. 既单射又满射的函数称为双射。

若 为双射，则存在逆函数

它把 映到满足 的唯一 。

基数

Cantor 对“两个集合何时一样大”的回答是：当它们的元素可以一一配对时。

定义 11：基数

若存在双射

则 具有相同基数，记作

其他记号：

• 若 ，则 ，称 为有限集；
• 若存在单射 ，则 ；
• 若 但 ，则 。

定理 12：Cantor–Schröder–Bernstein 定理

若

则

若 ，则 是可数无限集。有限集和可数无限集统称可数集；否则称不可数集。

例 13

第一式由双射

立即得到。它是单射，因为 ；也是满射，因为每个正偶数都可写成 。

第二式同理。第三式可通过按分子、分母沿网格对角线枚举，并跳过重复分数来证明。

这说明真子集也可能与原无限集具有相同基数。