01-集合、集合运算与数学归纳法

课程目标

本课程有两个主要目标：

1. 积累数学证明经验；
2. 证明有关实数、函数和极限的命题。

基础集合论

集合是一些对象的汇集，这些对象称为集合的元素或成员。空集记为 ，它没有任何元素。

常用符号：

符号	含义
	是 的元素
	不是 的元素
	对所有
	存在
	唯一存在
	推出
	当且仅当
	定义为

定义 2：集合关系

1. 若 的每个元素都属于 ，则 是 的子集，记作

2. 若 且 ，则

3. 若 且 ，则 是 的真子集。

集合构造记号

表示 中满足性质 的所有元素。

常用数集：

以及实数集 。它们满足

本课程首先要回答的核心问题是：应如何严格描述 ？

集合运算

给定集合 ：

1. 并集：

2. 交集：

3. 差集：

4. 补集：

5. 若 ，则 不相交。

定理 4：De Morgan 律

证明第一式。若 ，则 ，所以 且 ，即

反之，若 ，则 且 ，从而 ，即

两边互为子集，因此相等。

数学归纳法

公理 5：良序性质

若非空集合 ，则存在 ，使得对所有 ，

也就是说，自然数的每个非空子集都有最小元素。

定理 6：数学归纳法

设 是依赖 的命题。若：

1. 基础步骤： 成立；
2. 归纳步骤：对任意 ，若 成立，则 成立；

则 对所有 成立。

证明：令

反设 。由良序性质， 有最小元素 。由于 成立，。于是 ，所以 成立。归纳步骤推出 成立，与 矛盾。因此 。

例：有限几何级数

定理 8

对 和任意 ，

基础步骤 ：

若公式对 成立，则

因此公式对所有自然数 成立。

例：Bernoulli 不等式

定理 9

若 ，则对所有 ，

基础步骤 等号成立。若

因为 ，可同乘 ：

故结论由归纳法成立。