02-第2讲-概率术语与例题

1. 本讲内容

本讲介绍概率论的基本构件：

• 样本空间；
• 事件；
• 概率函数；
• 随机试验。

课程提醒：完成 MITx 上约 20～30 分钟的 R 教程，并在下一次实践课携带电脑。

2. 复习：五张牌中恰好一对

一副标准扑克牌有 52 张、13 种点数和 4 种花色。五张牌中“恰好一对”是指：

• 先选出一对所使用的点数： 种；
• 从该点数的 4 张牌中选 2 张： 种；
• 从其余 12 种点数中选出 3 个不同点数： 种；
• 每个点数各选一种花色： 种。

因此一对牌型共有

手，而全部五张牌共有 手。故

3. 概率模型的基本角色

随机试验

试验是一个可以重复执行的过程。每次执行称为一次试验或一次试次。

样本空间

样本空间 （也常记为 ）是所有可能结果构成的集合。

单个结果记作

事件

事件是样本空间的子集。事件发生，表示实际结果落在该子集中。

概率函数

概率函数为每个结果 指定概率 ，满足：

且所有可能结果的总概率为 1：

4. 抛硬币模型

一次试验为抛一枚公平硬币并报告正面或反面。样本空间为

概率函数为

可用表格概括：

结果
概率

在复杂例子中，概率表格尤其有用。

5. 离散样本空间

“离散”表示结果可以逐一列举。离散样本空间既可以是有限的，也可以是可数无限的，例如：

6. 用集合描述事件

事件可以用文字、集合符号或维恩图描述。

例如，连续抛硬币 3 次，样本空间共有 8 个结果。“至少出现 2 次正面”这一事件是

“恰好出现 2 次正面”则是

这对应讲义概念题中的集合 。

同一个集合

也可以表述为“恰好一个反面”。它不是“至多一个反面”，因为后者还应包括 。

互斥事件

“恰好 2 次正面”和“恰好 2 次反面”不可能在同一次三连抛中同时发生，因此两事件互斥：

蕴含与子集

“事件 蕴含事件 ”等价于

也就是说，只要 发生， 必然发生。

7. 事件的概率

若有限样本空间

则事件 的概率是其中各结果概率之和：

特别地，如果所有 个结果等可能，则

8. 概率与集合运算

补事件

这是因为 ，而且二者没有重叠。

互斥事件的加法

若 ，则

一般容斥公式

对于任意事件 ，

交集在前两项中被计算两次，所以要减去一次。

9. 课堂表格题：两个事件并集的范围

班级有 50 名学生，其中 20 名男性，25 名棕色眼睛。随机抽取一名学生，令

由容斥公式，

交集人数必须满足

因此

即

对应选项为 (d)。

10. 九次掷二十面骰子

一次试验连续掷公平的二十面骰子 9 次。

样本空间

样本空间大小为

每个有序结果等可能，概率均为

令事件

第一次可以任意取 20 个点数之一，第二次有 19 种不重复选择，依次类推，因此

于是

重复五次课堂试验得到的实验频率可能与 相差较大，因为样本量很小；试验次数增加后，频率才会趋于稳定。

11. Jon 的非标准骰子

Jon 有三枚面值分布不同的六面骰子。两名玩家各选一枚骰子、各掷一次，点数较大者获胜。

讲义要求：

1. 分别为蓝色骰子和白色骰子制作概率表；
2. 制作“蓝色 × 白色”的乘积样本空间表；
3. 在联合结果表中统计蓝色点数大于白色点数的格子；
4. 类似地比较蓝色与橙色、橙色与白色。

若三组比较出现

则这些骰子是非传递骰子：不存在一个在两两对决中始终最优的骰子。这也说明“胜过”关系未必像普通数值大小那样具有传递性。

原幻灯片的骰面数字以图片呈现，PDF 文本层没有记录具体面值；本译文保留原题的建模与计算方法，不臆造图中数据。

12. Lucky Lucy 的偏硬币

一枚硬币出现正面的概率为 ，出现反面的概率为 。独立抛掷两次。

令

表示两次结果相同，并令

表示两次结果不同。

则

两者之差为

因此，两次结果相同的概率永远不小于不同的概率；仅当 时二者相等。既然题目说明硬币并不公平，即 ，那么“两次相同”严格更可能。

本讲要点

1. 一个离散概率模型由样本空间和结果概率组成；
2. 事件是样本空间的子集；
3. 事件概率是其中各结果概率之和；
4. 补集、互斥与容斥公式把集合运算转化为概率运算；
5. 乘积样本空间适合描述多步试验；
6. 理论概率与小样本实验频率不必完全一致。