04-实数的刻画

定义 30：域

集合 若带有加法和乘法，并满足下列性质，则称为域。

加法：

1. 封闭性：；
2. 交换律：；
3. 结合律：；
4. 存在加法单位元 ；
5. 每个 有加法逆元 。

乘法：

1. 封闭性：；
2. 交换律：；
3. 结合律：；
4. 存在乘法单位元 ；
5. 每个非零 有乘法逆元 。

此外满足分配律：

不是域，因为一般整数没有整数乘法逆元。模 2 和模 3 的剩余类集合 是有限域。

定理 32

在任意域中，

证明：

定义 33：有序域

若域 同时是有序集，并满足：

则称 为有序域。

是有序域； 不是，因为若 ，则加 1 得 ，矛盾；若 ，同样得到反向矛盾。

定理 35

定理 36

若 异号，则

例如 时，，所以

从而 。

最小上界与最大下界

定理 38

若有序域 具有最小上界性质，则每个非空、有下界集合 都有下确界。

证明：令

若 有下界，则 有上界。取

那么 是 的下界；且任何 的下界 都满足 。故

实数的刻画

定理 39

存在唯一的有序域 ，使

且 具有最小上界性质。

实数可用 Dedekind 分割构造，也可用有理 Cauchy 序列的等价类构造。

定理 40

唯一存在 ，使

令

由完备性，

存在；与上一讲相同的上确界扰动论证给出 。

若另有 且 ，则

因为 ，必有 。所以正平方根唯一，记为 。