03-Cantor 定理与有理数的上确界缺陷

幂集

若 是集合，定义其幂集

例：

若 ，则

定理 15：Cantor 定理

对任意集合 ，

证明：映射 是从 到 的单射，所以

反设存在满射 。定义

因 满射，存在 使 。

• 若 ，则按 的定义 ；
• 若 ，则按定义 。

两种情况都矛盾，因此不存在满射，故

于是

存在无穷多个不同层级的无限基数。

实数问题

目标定理是：

存在唯一包含 、且具有最小上界性质的有序域；称其为 。

定义 23：有序集

集合 带有关系 ，若：

1. 对任意 ，恰有 、、 之一成立；
2. 若 且 ，则 $x

则 是有序集。

定义 24：上界与下界

对 ：

• 若存在 ，使对所有 有 ，则 有上界， 是其一个上界；
• 若存在 ，使对所有 有 ，则 是下界。

若 是上界，且不大于任何其他上界，则称为上确界：

类似地，最大的下界称为下确界：

上确界和下确界不一定属于集合本身，也可能不存在。

定义 26：最小上界性质

若有序集 的每个非空、有上界子集 都在 中拥有上确界，则称 具有最小上界性质。

不具有最小上界性质

令

定理 27

若某个 满足 ，则

首先 ，故 。

若 ，可取足够小的 ，例如

使

于是 且 ，与 为上界矛盾。

若 ，取

则

且可证明 仍是 的上界，却小于 ，与 为最小上界矛盾。

所以必有 。

定理 28

在 中没有上确界。

若存在 为其上确界，则由定理 27，。但不存在平方等于 2 的有理数。

讲义给出基于良序性质的证明：设

若 ，则 ，因而有最小元素 。令

由 ，有 ，并利用 得

于是 ，与 最小矛盾。

因此 中不存在 ，集合 也没有有理上确界。这正是有理数轴上的“空洞”。