06-实数的不可数性

定理 51：三角不等式

对任意 ，

因为

且

所以

由绝对值的刻画即得结论。

小数展开

对 ，用数字序列 表示

意指

每个 都有按讲义约定选定的唯一数字序列，满足

需要固定尾随 9 或尾随 0 的表示约定，以避免 造成的双重表示。

定理 57：Cantor 对角线论证

不可数。

反设存在双射

把第 个数写成

构造数字

令

对每个 ， 的第 位与 的第 位不同，因此

这与 满射矛盾，所以 不可数。因 ，实数集也不可数。

实数序列

定义 60

实数序列是函数

记作

定义 61：有界序列

若存在 ，使对所有 ，

则序列有界。

序列不同于其值域集合。例如

保留顺序与重复，而其值域集合只有 。

定义 63：收敛

若对每个 ，存在 ，使对所有 ，

则称 收敛到 ，记作

其否定是：存在 ，使对每个 ，都能找到 满足

定理 65：极限唯一

若 且 ，则 。

给定 ，当 足够大时，

由三角不等式，

该式对所有 成立，因此 。

例：