05-Archimedes 性质、有理数稠密性与绝对值

定理 43

1. Archimedes 性质

若 且 ，则存在 ，使

反设所有 都满足 ，则 有上界。令

不是上界，所以存在 使 $a-1

与 是上界矛盾。

2. 有理数稠密性

若 ，则存在 ，使

当 时，由 Archimedes 性质选 使

再取最小整数 。则

所以

且

其余符号情形可通过取 或对区间取负号归约。

上确界的例子

定理 44

1 显然是上界。若某上界 ，由 Archimedes 性质可取 使

即

与 是上界矛盾。因此任何上界都至少为 1。

定理 45：上确界的 刻画

设非空集合 有上界，则 当且仅当：

1. 是 的上界；
2. 对每个 ，存在 ，使

上确界的平移与缩放

定义

若 有上界，则

若 ，则

若 ，且对所有 都有 ，则

定义 49：绝对值

基本性质：

这些性质将在下一讲用于证明三角不等式。