04-第4讲-离散随机变量与期望

1. 本讲内容

• 随机变量；
• 概率质量函数；
• 累积分布函数；
• 期望；
• 伯努利分布、二项分布与几何分布。

2. 随机变量

随机变量 为样本空间中的每个结果指定一个实数：

符号“”表示事件

随机变量不是“随机变化的未知数”，而是定义在样本空间上的函数；随机性来自试验结果 。

3. 概率质量函数与累积分布函数

离散随机变量 的概率质量函数（pmf）定义为

其累积分布函数（cdf）定义为

CDF 是从左向右累积起来的概率。

四面骰收益例子

掷一枚公平四面骰。点数为 时，收益分别为 美元。令 表示收益：

骰子结果	1	2	3	4
pmf
对应点的 cdf

因此

即使 不在 的可能取值中，CDF 在该点仍然有定义；而该点的概率质量为零。

4. PMF 与 CDF 的性质

概率质量函数满足

累积分布函数满足：

1. 单调不减；
2. ；
3. 。

离散随机变量的 CDF 是阶梯函数。它在点 的跳跃大小就是

从 CDF 恢复 PMF

设 只取 ，且

	1	3	5	7
	0.5	0.75	0.9	1

则

而

5. 期望的含义

某试验产生数值 ，概率分别为

在大量重复试验中，各值出现的比例大致接近各自概率。例如，在 500 次试验中可预期约出现 100 次 、100 次 、300 次 。相应平均值为

这就是长期平均意义下的期望值。少量试验的实际平均可能与它相差很大。

6. 期望的定义与性质

若随机变量 取值 ，pmf 为 ，则

期望是以概率为权重的加权平均，也是统计学中的一种集中趋势度量。期望本身不必是 的可能取值。

线性性质

第一式不要求 独立。

随机变量函数的期望

若 为函数，则

通常

7. 期望计算例题

例 1

	3	4	5	6
pmf

例 2：伯努利变量

若 ，则

	0	1
pmf

所以

例 3：期望的线性

若

则不论这些变量是否独立，

例 4：函数的期望

设 在 上均匀取值：

			0	1	2
pmf
	2	0	0	2	6

由对称性或直接求和，

同时

注意

8. 课堂题：计算期望

若

	1	2	3
pmf

则

而

这再次说明 。

9. 期望与赌博的表述方式

方案 (a)：有 概率赢 95 美元、 概率输 5 美元。净收益期望为

方案 (b)：先支付 5 美元，有 概率获得 100 美元、 概率一无所获。净收益分别为 95 美元和 美元，所以

两个方案在经济结果上完全相同，只是表述不同。人们可能因框架效应给出不同答案。此外，正期望并不强迫个人接受赌博；财富水平、风险承受能力和效用都会影响选择。

10. 抢椅子与指标变量

个人随机重新入座，所有座次等可能。令

坐回原位的总人数为

每个人坐回自己座位的概率都是 ，所以

由期望的线性，

因此无论人数多少，坐回原座位者的期望人数始终为 1。各 并不独立，但线性期望仍然成立。

11. 伯努利分布

伯努利分布描述一次二元试验。成功记为 1，失败记为 0：

	0	1

它也可以理解为抛一次偏硬币，其中正面概率为 。

12. 二项分布

在 次相互独立的 试验中，令 为成功次数，则

其可能取值为 ，pmf 为

若 是第 次试验的成功指标，则

由期望线性，

13. 几何分布

在独立伯努利试验序列中，令 表示第一次成功前出现的失败次数，则

其可能取值为 ，而

期望为

这里必须明确采用“第一次成功前的失败数”这一约定；有些教材把第一次成功所在的试验编号定义为几何变量，此时取值从 1 开始、期望为 。

14. 第二次失败前的成功数

令 为独立伯努利试验中“第二次失败出现之前的成功次数”。要使 ：

• 最后一次必须是失败；
• 在前 次试验中，恰有 次成功和 1 次失败；
• 那一次失败有 个位置可选。

因此

这是负二项分布的一个特例。

15. 赌徒谬误与“手感火热”

赌徒谬误声称：轮盘连续多次出现黑色后，下一次更可能出现红色。若每次转动相互独立，下一次红色的概率并不会因过去结果而改变。

1913 年蒙特卡洛赌场曾连续出现极端序列，大量赌客因认为结果“应该反转”而遭受损失。

篮球中的“手感火热”则声称连续命中会提高下一投的命中率。早期数据分析没有发现这种效应；后续研究对数据处理、选择偏差和效应大小仍有讨论。关键在于：这是一项需要数据检验的经验命题，而不是独立性模型自动给出的结论。

16. 几何分布的无记忆性

设

则

这表示：已知前 次都失败后，从现在开始还要等待 次失败才首次成功的概率，与试验刚开始时完全相同。分布不“记得”已经等待了多久，所以称为无记忆。

本讲要点

1. 随机变量把试验结果映射到实数；
2. PMF 给出点概率，CDF 给出累计概率；
3. 期望是概率加权平均并满足线性；
4. 通常不等于 ；
5. 伯努利、二项和几何分布分别刻画一次成功试验、固定次数中的成功数、首次成功前的失败数；
6. 几何分布具有无记忆性。