08-夹逼定理与收敛序列的运算

夹逼定理

定理

设三个实数序列满足

对所有充分大的 成立。若

则

证明。 给定 。当 充分大时，

因此

所以 。证毕。

用绝对值刻画收敛

定理

这实际上只是收敛定义的另一种写法：两边都要求对每个 ，当 充分大时，

例：有理式序列

证明

因为

而右端趋于 ，所以由夹逼定理可得所求极限为 。

极限保持次序

定理

若对所有充分大的 ，

并且

则

换言之，取极限不会颠倒最终成立的不等式。

收敛序列的代数运算

设

且 。则：

若 ，则对所有充分大的 ，，并且

乘积极限的证明思路

由收敛序列必有界，存在 ，使得 。于是

右端两项都趋于 ，故 。

平方根与绝对值

若

则 ，并且

当 时，可使用恒等式

当 时，由

直接验证即可。

同样，由反三角不等式

可知

几何序列

定理

若

则

一种证明方法是令 ，写成 ，其中 。由 Bernoulli 不等式，

因此

另一方面，若 ，则 单调递增且无界，因而不收敛。