07-实数收敛序列

一个基本例子

考虑序列

由于

给定任意 ，只要取 ，当 时便有

因此

相比之下，序列

不收敛。它的项在 与 之间不断交替，不可能最终全部落在同一个足够小的邻域内。

定理：收敛序列必有界

若

则序列 有界。

证明。 在收敛定义中取 。于是存在 ，使得当 时，

由三角不等式，

前面的有限多个数 也存在一个共同上界。因此令

便有对所有 ，

所以该序列有界。证毕。

单调序列

定义

若对每个 ，

则称 单调递增。

若对每个 ，

则称 单调递减。

单调收敛定理

定理

若 单调递增且有上界，则它收敛，并且

证明。 令

给定 。因为 ，所以 不可能仍是该集合的上界。因此存在 ，使得

又因为序列单调递增，所以当 时，

于是

故 。证毕。

同理，若 单调递减且有下界，则

子序列

定义

设 是一个序列。若自然数序列

严格递增，则

称为 的一个子序列。

例如， 是偶数编号项组成的子序列， 是奇数编号项组成的子序列。

定理

若

则 的每个子序列也收敛到 。

证明。 给定 。存在 ，使得当 时，

由于 ，当 时也有 ，从而

因此 。证毕。

这个结论也给出了证明序列发散的常用方法：如果能够找到两个收敛到不同极限的子序列，那么原序列不可能收敛。