05-第5a讲-方差与连续随机变量

1. 本讲内容

• 离散随机变量的方差与标准差；
• 积分复习；
• 连续随机变量与概率密度；
• 指数分布。

先提醒一个重要区别：函数的期望通常不等于期望的函数。若

由于 ，有 ，因此

但

一般并不等于 。

2. 方差与标准差

设离散随机变量 的均值为

方差度量概率质量围绕均值的离散程度，定义为

若 取值 ，则

标准差为

方差的单位是 单位的平方，而标准差与 具有相同单位，因此更便于解释。

如果 ，则 以概率 1 为零，所以

即 几乎必然为常数。

3. 计算方差的便捷公式

展开平方可得

因此

表格例题

	1	2	3	4	5

该分布关于 3 对称，所以

同时

故

4. 标准差的直观比较

概率质量越远离均值，标准差通常越大；但判断时必须同时考虑距离和概率权重。

讲义比较两个对称分布：

随机变量

因此

随机变量

	10	20	30	40	50
pmf	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

由对称性 ，并且

因此

所以 的标准差更大。

5. 方差的代数性质

若 为常数，则

加上常数 只平移分布，不改变离散程度；乘以 会把所有距离放大 倍。

若 独立，则

不独立时必须加入协方差项，后续课程会讨论。

6. 伯努利与二项分布的方差

若 ，由于 ，

因此

若

则可写成 个独立伯努利变量之和：

所以

独立同分布样本均值

设 独立，且每个变量的标准差均为 。样本平均为

则

故

平均多个独立观测会降低波动，下降速度是 。

7. 从离散变量到连续变量

连续随机变量可以取一整段连续范围内的值，例如

从离散模型过渡到连续模型时：

• 概率质量函数换成概率密度函数；
• 求和换成积分。

8. 积分复习

既表示曲线 下方从 到 的有向面积，也可以理解为许多微小量 的总和。

把区间分成宽度为 的小段，可用矩形面积近似：

当分割不断变细时，黎曼和趋于定积分。

9. 概率密度函数

连续随机变量 的概率密度函数（pdf）为 ，满足

区间概率由曲线下面积给出：

密度的单位是“概率除以 的单位”，因此 本身不是概率，也不要求小于等于 1。

10. 连续变量的累积分布函数

CDF 满足：

且单调不减，并有

区间概率为

在可微点，

11. 连续密度例题

设 的取值范围为 ，且

归一化条件给出

所以

CDF 为

因此

在密度图上，这就是 至 之间曲线下方的面积。

12. 从 CDF 求密度

设 的取值范围为 ，并且在该区间

因为 ，

取 ，得

密度是 CDF 的导数：

13. 密度值与点概率

密度可以大于 1

可以。例如均匀分布在 上的密度为 20，但总面积仍然是

密度是“单位长度上的概率浓度”，不是某一点的概率。

连续变量的点概率

对于连续随机变量，

这并不表示 “绝不可能”取得 。单个精确值都有零概率，但实际试验仍会得到某个值。概率为零与逻辑上的不可能不是同一概念。

合法 CDF 的图形条件

合法 CDF 必须：

1. 始终位于 ；
2. 单调不减；
3. 左端极限为 0；
4. 右端极限为 1；
5. 右连续。

任何下降、越出 或两端极限错误的曲线都不是合法 CDF。

14. 指数分布

参数为 的指数分布记为

或 。其中 称为率参数。

取值范围为 ，密度为

CDF 为

指数分布常用于等待时间，是几何分布的连续对应物。

15. 等待出租车

平均每 10 分钟有一辆出租车经过。用指数分布描述等待时间（单位：分钟）：

密度为

等待 3 到 7 分钟的概率为

CDF 为

密度从 开始指数下降；CDF 从 0 开始单调上升并趋近于 1。

本讲要点

1. 方差与标准差衡量随机变量围绕均值的离散程度；
2. 常使计算更简单；
3. 独立变量之和的方差等于方差之和；
4. 连续概率由密度曲线下的面积给出；
5. 密度可以大于 1，但点概率为 0；
6. CDF 的导数是密度；
7. 指数分布是常用的连续等待时间模型。