10-实数完备性与无穷级数基础

Cauchy 序列

定义

若对每个 ，存在 ，使得对所有 ，

则称 为 Cauchy 序列。

其否定是：存在 ，使得对每个 ，都能找到 满足

例如， 是 Cauchy 序列，而 不是。

定理：Cauchy 序列有界

取足够大的 ，使 时

于是尾部各项满足

再把前面的有限项纳入共同上界，即知整个序列有界。

定理

若 Cauchy 序列有一个子序列收敛到 ，则原序列也收敛到 。

事实上，给定 ，取足够大的 和子序列指标 ，使

于是

实数的完备性

定理

实数序列收敛，当且仅当它是 Cauchy 序列。

若序列收敛，三角不等式直接表明它是 Cauchy 序列。反过来，Cauchy 序列有界，由 Bolzano–Weierstrass 定理存在收敛子序列；再由上一条定理可知原序列收敛。

无穷级数

给定序列 ，记

为与它对应的无穷级数。定义部分和

若 收敛，则称该级数收敛；若 ，写作

改变或删去有限多个项不会改变级数的收敛性。

伸缩级数

收敛，因为

从而

几何级数

若 ，则

因为

而 。

级数的 Cauchy 判据

级数 收敛，当且仅当对每个 ，存在 ，使得所有 都满足

这是把部分和序列的 Cauchy 条件写成级数尾和的形式。

收敛级数的必要条件

若

收敛，则

因此，当 时，，所以

发散。注意 只是级数收敛的必要条件，并非充分条件。