09-上极限、下极限与 Bolzano–Weierstrass 定理

三个常用极限

若 ，则

前两个结论可分别由收敛定义与 Bernoulli 不等式证明。对第三个结论，令

由二项式展开，

所以

上极限与下极限

设 是有界序列，定义尾部集合

以及

则称

为序列的上极限，称

为序列的下极限。

因为 ，所以 单调递减， 单调递增。原序列有界又保证二者有界，因此这两个极限总是存在，并且

例

若 ，每个尾部集合都同时含有 和 ，故

若 ，则

所以

上、下极限都能由子序列达到

定理

每个有界序列都存在子序列 和 ，使得

证明思路。 令 。依次选择严格递增的指标 ，使

由于 ，夹逼定理给出

下极限的情形完全类似。

Bolzano–Weierstrass 定理

定理

每个有界实数序列都存在收敛子序列。

这是上一结论的直接推论：趋于上极限的子序列就是一个收敛子序列。

收敛的上、下极限判据

定理

有界序列 收敛，当且仅当

若二者共同等于 ，则

夹逼定理给出 。反之，若 ，则每个子序列都趋于 ，特别是达到上、下极限的两个子序列也都趋于 ，所以二者相等。