06-第5b讲-常见连续分布与直方图

1. 本讲内容

• 指数分布；
• 均匀分布；
• 正态分布；
• 随机变量的变换；
• 频数直方图与密度直方图。

2. 指数随机变量

参数为 的指数随机变量记为

取值范围为 ，其中 是率参数。其密度与 CDF 分别为

均值和方差为

指数分布用于刻画等待时间，是几何分布的连续对应物。

出租车等待时间

若出租车平均每 10 分钟经过一次，以

模拟等待时间，则

等待 3 至 7 分钟的概率对应密度曲线在该区间下的面积：

3. 均匀随机变量

若 在区间 上均匀分布，记为

或 。其密度为

CDF 为

均值和方差分别为

4. 正态随机变量

均值为 、标准差为 的正态分布记为

其取值范围为整个实数轴，密度为

并且

正态分布常用于描述许多独立小效应的总和。标准正态分布为

5. 正态分布的 68–95–99.7 经验法则

对标准正态变量 ，

对一般正态变量 ，相应地

改变 只会水平平移分布，不改变这些中心区间所包含的概率；改变 会伸缩横轴，但以标准差为单位后的比例仍然相同。

指数分布的中位数

若

中位数 满足 ，因此

6. 随机变量的单调变换

已知 的分布并令 时，可靠的方法是从 CDF 定义出发：

再把事件转换为关于 的不等式，最后求导得到密度。

例：

设 的取值范围为 ，且

令 ，则 。由于 ，

对 成立。因此

完整 CDF 为

7. 变换练习

(a)

由于 仍为均匀分布，

(b)

对 ，

所以

密度在 附近趋于无穷，但其面积仍有限且总面积为 1。

(c)

正态变量的线性变换仍为正态分布：

其范围是 ，密度为

若 表示标准正态 CDF，则

8. 直方图

直方图先用若干区间（组或箱）对数据分组。

频数直方图

每个柱子的高度等于落入该组的数据点数。它适合组宽相等时比较频数。

密度直方图

每个柱子的面积等于该组数据占全部数据的比例，因此

所有柱子的总面积为 1。组宽不等时，必须用面积而不是柱高表示相对频数。

9. 直方图计算例题

数据为

共有 15 个观测值，区间按右端闭合。

(a) 宽度为 0.5 的等宽组

区间	频数	密度高度
	0	0
	1
	2
	2
	2
	2
	3
	3

例如，频数为 3 的柱子面积为

(b) 不等宽组：边界

区间	宽度	频数	密度高度
	1	1
	2	8
	1	6

总面积为

若直接把频数作为柱高，宽组会仅因更宽而显得更重要。密度直方图按柱宽校正，使每根柱子的面积真实表示该组所占比例，因此更适合不等宽分组。

本讲要点

1. 指数、均匀和正态分布是三类基本连续分布；
2. 正态分布约有 、、 的概率落在均值的 1、2、3 个标准差内；
3. 求变换后分布时，应从 CDF 的概率定义系统推导；
4. 频数直方图以高度表示个数；
5. 密度直方图以面积表示样本比例，总面积为 1；
6. 组宽不等时，密度直方图比频数柱高更具可比性。