12-比值、根值与交错级数判别法

比值判别法

设 ，并且极限

存在。

• 若 ，则 绝对收敛。
• 若 ，则 发散。
• 若 ，此判别法不能给出结论。

当 时，选择 。对充分大的 ，

所以尾部可被一个收敛的几何级数控制。若 ，则最终有 ，通项不趋于零，级数发散。

例如，对任意 ，

绝对收敛，因为

根值判别法

若

存在，则：

• 若 ， 绝对收敛；
• 若 ， 发散；
• 若 ，不能据此判断。

当 时，取 。充分大的 满足

即

于是可与几何级数比较。若 ，则最终 ，通项不趋于零。

交错级数判别法

定理

若 单调递减、，且

则交错级数

收敛。

令

偶数部分和满足

并形成一个有下界的单调序列，因此收敛。又因为

奇数部分和趋于同一极限，所以全部部分和收敛。

因此

收敛，但它不绝对收敛，因为对应的绝对值级数是调和级数。

绝对收敛级数的重排

定理

若

绝对收敛，且 是双射，则重排后的级数

也绝对收敛，并且其和仍为 。

证明的关键是：绝对收敛使任意充分靠后的有限项之绝对值总和都可以任意小。重排只改变项出现的顺序；只要部分和中已经包含原级数足够长的前段，遗漏或额外加入的项都来自绝对值很小的尾部，因此重排后的部分和仍趋于 。