11-绝对收敛与比较判别法

调和级数

尽管 ，调和级数

仍然发散。把部分和按长度为 的区块分组，有

故部分和序列无界，调和级数发散。这说明“通项趋于零”不足以推出级数收敛。

级数的线性性质

若 与 收敛，，则

收敛，并且

非负项级数

若 ，则部分和序列单调递增。因此

绝对收敛

若

收敛，则称 绝对收敛。

定理

绝对收敛必推出收敛。

由有限和的三角不等式，

右边满足 Cauchy 判据，因此左边也满足，故 收敛。

比较判别法

定理

若对所有 ，

则：

1. 若 收敛，则 收敛；
2. 若 发散，则 发散。

证明只需比较两个非负项级数的部分和。

-级数

定理

收敛，当且仅当

若 ，则

由调和级数和比较判别法知其发散。

若 ，按二进区块分组。第 个区块中至多有 项，每项至多为

因此该区块的总和至多为

这些上界构成公比 的几何级数，所以原级数的部分和有界，故收敛。