07-第6a讲-连续型期望分位数与大数定律

1. 本讲内容

• 连续随机变量的期望；
• 方差与标准差；
• 分位数和中位数；
• 直方图；
• 大数定律。

2. 连续型期望

期望是随机变量位置或集中趋势的度量。若连续随机变量 的取值范围为 ，密度为 ，则

若范围无界，则相应地使用广义积分。

离散情形的公式为

两者本质相同：都是“数值 × 概率权重”的总和；连续情形用密度和积分代替概率质量与求和。

更一般地，

3. 连续型方差与标准差

设

对任意随机变量，

连续情形为

离散情形为

离散变量和连续变量具有相同的代数性质：

若 独立，则

4. 综合例题：密度

设 的取值范围为 ，密度为

(a) 求归一化常数

所以

CDF 为

(b) 均值、方差和标准差

因此

(c) 中位数

中位数 满足 ，所以

(d) 16 个独立副本的平均

设 独立同分布，并令

则

(e) 的期望

(f) 的密度

。由于变换单调递增，

因此

5. 分位数

分位数 是使左尾概率为 的数值：

若 CDF 可逆，则

其中：

• 是中位数；
• 是第一四分位数；
• 是第三四分位数。

分位数是位置度量，但不只由密度曲线某一点的高度决定，而由该点左侧的总面积决定。比较多个分布的中位数时，应寻找每条曲线左侧累计面积达到 的位置。

在 R 中，qnorm、qbinom、qexp 等函数分别返回正态、二项和指数分布的分位数。

6. 直方图复习

频数直方图中，组上方柱高等于该组数据个数。

密度直方图中，柱子的面积等于该组数据占总数据的比例：

因此总面积为 1。

等宽组

数据

按宽度 0.5、右端闭合的组划分：

区间	频数	密度
	1	0.2
	2	0.4
	3	0.6
	4	0.8

边界值放入左侧的右闭区间。由于所有组宽相同，频数和密度直方图形状相同，仅纵轴比例不同。

不等宽组

以 为边界：

区间	宽度	频数	密度
	0.5	1	0.2
	1.0	5	0.5
	0.5	4	0.8

不等宽时，频数柱高会产生误导；密度直方图通过面积保持概率比例，应始终优先使用。

原讲义随后重复上一讲的 15 个数据点直方图练习；完整分组表和解答见第 5b 讲。

7. 大数定律

直观上，多次测量的平均值比单次测量更准确。

设 为独立同分布随机变量，均值为 ，标准差为 。样本均值为

大数定律表明，对任意 ，

也就是说，只要 足够大，样本均值就能以任意接近 1 的概率靠近总体均值。

但 仍是随机变量；对每个有限 ，它仍有小概率偏离 很远。大数定律不是说有限样本一定准确，也不是说误差会单调缩小。

8. 绝境赌博策略

你有 100 美元，必须在次日早晨前达到 1000 美元。每次下注 美元：

• 以概率 赢得 ；
• 以概率 输掉 。

两种策略：

• 最大下注策略：每次押上尽可能多、但不超过达到目标所需金额；
• 最小下注策略：每次只下注少量，例如 5 美元。

若 ，游戏对玩家不利。延长游戏会让负漂移持续累积，因此应采用最大下注策略，尽量以较少次数获得达到目标的机会。

若 ，每次下注具有正优势。大量小额下注能让平均收益率依大数定律趋近其正期望，从而降低短期波动导致破产的风险，因此最小下注策略更好。

这一例子说明，大数定律只有在重复试验的平均趋势对你有利时才值得利用。

9. 大数定律与直方图

从同一分布抽取大量独立样本时，固定分组的相对频率会趋近各组的真实概率。随着样本量增大并适当缩小组宽，密度直方图会越来越接近总体的概率密度函数。

原讲义展示了 100,000 个标准正态样本、组宽为 0.1 的密度直方图，并在其上叠加标准正态密度曲线。两者已经非常接近。

本讲要点

1. 连续型期望和方差用积分定义；
2. 离散与连续情形遵循相同的期望、方差代数规则；
3. 分位数是 CDF 的反函数值；
4. 不等宽分组应使用密度直方图；
5. 大数定律保证独立同分布样本的平均趋近总体均值；
6. 大样本降低随机波动，但不消除有限样本中的极端偏差。