16-最大最小值定理与 Bolzano 介值定理

最大最小值定理

若 连续，则 有界，并且存在 ，使

对所有 成立。

证明先反设无界，选取 。由 Bolzano–Weierstrass 定理， 有收敛子序列，其极限仍在闭区间内；连续性却要求相应函数值收敛，产生矛盾。再取函数值趋于上确界的序列，同样用收敛子序列与连续性证明上确界能够达到；最小值类似。

Bolzano 介值定理

若 连续，且

则存在 ，使

令

利用连续性可排除 与 ，故 。

更一般地，若 位于 与 之间，则存在 使 。只需对 应用上述定理。