18-Weierstrass 连续但处处不可微函数

Weierstrass 构造揭示了连续与可微之间的巨大差距。考虑形如

并适当选择奇整数 ，使 且满足更强的技术条件。

由于

而几何级数 收敛，该函数级数一致收敛。每个部分和都连续，所以其一致极限 连续。

不可微性的核心在于不同尺度上的高速振荡。对与 同阶的增量考察差商：低频项可受控，高频项中第 阶振荡产生约为

的贡献。由于 ，这些差商不能趋于有限极限。精细估计可证明 在每一点都不可微。

这个例子说明：连续性只控制函数值在局部的变化趋于零，却不保证变化率趋于某个确定值。