17-一致连续与导数定义

函数 一致连续，是指对每个 ，存在只依赖于 的 ，使任意 满足

时都有

一致连续强于逐点连续。函数 在 上连续但不一致连续；取 、，两点距离趋于零而函数值之差不趋于零。

Heine–Cantor 定理

闭区间上的连续函数一致连续。

反设不一致连续，则存在 及两列 ，满足

从 取收敛子序列，则对应的 也趋于同一点，连续性给出矛盾。

导数

若极限

存在，则称 在 可微。等价地，

可微必连续，因为

连续不必可微，例如 在 连续，但左右差商分别趋于 与 。