24-一致收敛、Weierstrass M 判别法与极限交换

一致 Cauchy 判据

函数列 一致收敛，当且仅当对每个 ，存在 ，使所有 及所有 都满足

Weierstrass 判别法

若存在非负数 ，使

对所有 成立，并且

收敛，则函数级数

在 上绝对且一致收敛。

证明直接使用尾和估计：

极限与积分交换

若 在 上可积，且 一致，则 可积，并且

关键估计为

逐点收敛通常不足以交换极限与积分；一致收敛提供了对整个定义域统一有效的误差控制。