23-函数列的逐点收敛与一致收敛

设 。

若对每个固定 ，都有

则称 逐点收敛到 。此时达到给定误差所需的指标可以依赖于 。

若对每个 ，存在与 无关的 ，使得对所有 和所有 ，

则称 一致收敛到 。等价地，

例如 在 上逐点趋于

但不一致收敛。

一致极限定理

若每个 都连续，且 一致，则 连续。证明把误差分成三部分：

先用一致收敛控制首尾两项，再用 的连续性控制中间项。