13-第12讲-概率预测赔率与贝叶斯因子

1. 概率预测

概率预测也称概率预报，是为未来试验的每一种结果指定概率。

普通断言：

明天会下雨。

概率预测：

明天下雨的概率为 ，不下雨的概率为 。

应用包括：

• 医疗治疗结果；
• 天气预报；
• 气候变化；
• 体育博彩；
• 选举预测。

一个完整预测应覆盖所有互斥结果，且概率总和为 1。

2. 估计概率用语

现实报告常用“很可能”“经常”“偶尔”“罕见”等词表达不确定性。但这些词没有统一的数值含义，不同读者可能作出完全不同的解释。

讲义引用一种医疗风险沟通建议：

用语	建议概率范围
很可能（likely）	超过
经常（frequent）	～
偶尔（occasional）	～
罕见（rare）	低于

这些区间只是特定沟通标准，并非普遍定义。关键是：若决策依赖不确定性的大小，应尽可能同时给出明确数值或范围，而不只给模糊词语。

3. 先验预测与后验预测

先验预测概率是在观察数据之前，对未来结果指定的概率。

后验预测概率是在观察数据、更新未知模型或参数之后，对新结果指定的概率。

这两者不同于“假设的先验与后验概率”。

例如有四面骰和十二面骰，随机选择一枚。第一次结果为 ，第二次结果为 ：

• 假设先验：；
• 假设后验：；
• 先验预测：；
• 后验预测：。

后验预测通过全概率公式，把每个假设下的未来概率按假设后验加权。

4. 三枚硬币的后验预测

抽屉中各有一枚硬币：

其正面概率分别为 。等概率选择一枚，抛 5 次，观察到恰好 1 次正面。

假设与先验

数据似然

令 。则

各似然为

先验相同，因此后验正比于这些似然。归一化得到：

硬币	后验概率

先验预测

观察数据前，下一次正面的概率为

后验预测

观察 1 次正面、4 次反面后，

所以下一次反面的后验预测概率约为

最佳选项约为 ，但精确后验预测不是单独某枚硬币的参数，而是三个参数的后验加权平均。

5. 观测顺序是否影响更新

若告诉我们具体次序为

在给定硬币类型 时，该序列的似然为

“5 次中恰好 1 次正面”的似然为

二者只相差对所有候选 都相同的常数 ，归一化时会抵消，因此硬币类型的后验分布不变。

这来自独立同分布伯努利模型的可交换性：对 的推断只取决于正反面次数，不取决于排列顺序。

6. 赔率

事件 的赔率定义为

若 ，则

反过来，若赔率为 ，则

例子：

• 公平硬币正面的赔率为 ，称为“1 比 1”；
• 六面骰掷出 4 的赔率为

可称“支持赔率 1 比 5”或“反对赔率 5 比 1”。

稀有事件中 ，因为 ，所以

7. 用赔率进行贝叶斯更新

对于假设 与其补集 ，

因此

赔率形式不需要显式计算证据 ，因为它在分子与分母中抵消。

8. Marfan 综合征

设：

已知

概率形式

即约 。

赔率形式

先验赔率为

眼部特征的贝叶斯因子为

所以

眼部特征使患病赔率放大 10 倍，是支持 的证据；但极低的先验赔率使后验仍然很小。

9. 贝叶斯因子与证据强度

数据 对 相对于 的贝叶斯因子为

它也称似然比。

• ：数据支持 ；
• ：数据支持 ；
• ：数据不区分二者；
• 离 1 越远，区分力度通常越强。

贝叶斯因子度量数据带来的相对证据，不等于后验概率。强证据乘以极小先验赔率后，后验赔率仍可能很小。

10. 筛查测试的赔率

疾病患病率为 ，测试的假阳性率为 、假阴性率为 。

先验赔率：

阳性时：

贝叶斯因子：

后验赔率：

转回概率：

阳性提供约 19.6 倍的强支持证据，但患病先验极低，所以阳性后的实际患病概率仍只有约 。

11. 犯罪现场血型证据

两名作案者在现场留下两种血：一人为 O 型、一人为 AB 型。总体中：

忽略其他血型，并把两名未知者视为独立总体抽样。

Oliver 为 O 型

令

数据包括现场发现 O 与 AB，以及 Oliver 本人为 O 型。

在 下，另一人必须为 AB 型：

在 下，两名未知者一 O、一 AB，次序有两种：

所以

后验赔率为

贝叶斯因子略小于 1，因此 Oliver 的 O 型血其实是轻微反对其涉案的证据：O 型很常见，两名随机未知者产生 O+AB 的机会因两种排列而稍高。

Alberto 为 AB 型

若 Alberto 为 AB 型，在其涉案假设下，另一人必须为 O 型：

无涉案时仍为

因此

后验赔率为

AB 型很罕见，所以匹配 AB 的证据远强于匹配常见的 O 型。但没有先验赔率，仍不能单独给出最终有罪概率。

12. 多份证据的连续更新

若数据 在给定 时条件独立，并且在给定 时也条件独立，则

后验赔率为

一般地，

必须谨慎检查条件独立性。若多项证据来源相同或相互依赖，直接相乘会重复计算信息。

13. Marfan 综合征的第二项症状

除眼部特征 外，考虑腕征 ：

因此

若假设两项症状在给定患病状态后条件独立，则

转为概率：

即约 。两项数据把先验患病概率放大了约 90 倍，但绝对概率仍低于 。

14. 法律证据中的谨慎使用

赔率与贝叶斯因子可以把多项独立证据组织成透明的计算。但在法律情境中仍需特别谨慎：

• 先验赔率如何确定；
• 证据之间是否真的条件独立；
• 似然来自何种参考人群；
• 实验室误差与选择过程是否被计入；
• “证据支持力度”不能与“最终有罪概率”混为一谈。

贝叶斯公式不会自动修复错误的输入或不合理的模型。

本讲要点

1. 概率预测为未来每个结果指定概率；
2. 后验预测对各假设下的预测作后验加权；
3. 赔率与概率可相互转换；
4. 后验赔率等于先验赔率乘贝叶斯因子；
5. 贝叶斯因子衡量数据对两个假设的相对支持；
6. 强证据不一定产生高后验概率，基准率仍然重要；
7. 条件独立证据的贝叶斯因子可以连乘；
8. 证据依赖性、先验和参考人群决定计算是否可信。