25-幂级数与 Weierstrass 逼近定理

幂级数具有形式

存在收敛半径 ，使级数在 时绝对收敛，在 时发散；端点必须分别判断。由根值判别法，

在任意闭子区间 上，幂级数一致收敛。因此可以逐项积分：

也可证明在收敛区间内部逐项求导：

Weierstrass 逼近定理

若 连续，则对每个 ，存在多项式 ，使

在 上可使用 Bernstein 多项式

把系数视为二项分布概率，利用 的一致连续性和远离均值部分的概率估计，可证明

一致成立。一般闭区间可通过线性换元化为 。这表明多项式在闭区间连续函数空间中关于一致范数稠密。