18-第18讲-p值功效与t检验

1. 零假设检验图

典型检验图包含：

• 横轴：检验统计量 ；
• 蓝色曲线：零假设下的密度 ；
• 横轴上的指定区域：拒绝域；
• 零分布在拒绝域上的橙色面积：显著性水平。

因此

必须区分“拒绝域”与“曲线下的概率”：拒绝域是统计量可能值的集合，显著性才是零分布赋予该集合的概率。

2. 简单假设与复合假设

简单假设完全指定抽样分布，通常给参数一个具体值。

例如，抛硬币 30 次、正面数为 ：

是简单假设，因为

复合假设包含多个可能分布，通常把参数限制在一个范围：

此时 的具体分布仍取决于未知的 。

3. 极端数据与 值

给定 ：

1. 从数据计算统计量 ；
2. 在 下确定零分布；
3. 决定单侧或双侧方向；
4. 选择显著性水平与拒绝域；
5. 计算与观察值至少同样极端的零假设概率。

值定义为

“至少同样极端”必须依照备择方向解释。

若观察值 位于右侧拒绝域，则其右尾 值面积小于整个拒绝尾的 ，所以

并拒绝 。

若 仍在非拒绝区，则右尾 值面积大于拒绝尾面积，所以

并不拒绝 。

4. 临界值

拒绝域的边界称为临界值。

讲义用 表示右侧面积为 的临界值：

它与分位数互补：

对标准正态分布：

而左端临界值为 。

在 R 中：

qnorm(0.975)

返回右尾面积为 的正态临界值。

5. 双侧 值

若双侧拒绝域把 平分在左右两尾，则一般可计算

对关于 0 对称的零分布，这化为

在不对称离散分布中，“双侧同样极端”的定义可能不唯一，应根据具体检验规则明确说明，而不能机械地将某个尾概率乘 2。

6. R 函数概念题

进行左侧 检验：

左侧临界值满足

所以使用

qnorm(0.1, 0, 1)

得到

左侧 值为

所以使用

pnorm(1.8, 0, 1)

并得到约

因为观察值在右侧而备择拒绝方向在左侧， 很大，故不拒绝 。

7. 第一类错误、第二类错误与功效

真实状态	拒绝	不拒绝
为真	第一类错误	正确决定
为真	正确决定	第二类错误

第一类错误概率为

它也称假阳性率。

第二类错误概率通常记为

检验功效为

因此：

• 显著性是零分布在拒绝域上的面积；
• 功效是备择分布在同一拒绝域上的面积。

功效依赖具体备择参数。对复合备择，功效是参数的函数，而不是单个固定数值。

8. 二项检验中的显著性与功效

设

零假设为 ，备择例子为 或 。若拒绝域为一组高正面次数 ，则：

第一类错误概率就是 。在给定备择 下，第二类错误概率为

原幻灯片以橙框标出具体拒绝格子，但 PDF 文本层未保留颜色范围；计算时应对原图中所有橙框列分别使用上述三行概率求和。

通常，若拒绝域位于右尾，则 的分布比 更向右移，因而功效更高。

9. 怎样提高功效

在控制同一显著性水平的前提下，功效通常随以下因素提高：

• 样本量增大；
• 真实效应增大；
• 测量噪声或总体方差减小；
• 使用与科学问题相符的单侧检验；
• 研究设计减少混杂与不必要变异。

扩大拒绝域可提高功效，但同时也会提高第一类错误率。设计检验是在假阳性与假阴性之间权衡。

10. 只有零分布时能否求功效

若检验统计量在零假设下

且拒绝域为

显著性为

但不能仅凭零分布计算功效。还必须指定 下 的分布。若备择为复合假设，则应给出功效函数。

11. 检验回顾

数据

检验

当 已知时，

在 下严格服从

12. 单样本 检验

当 未知时，用样本标准差

替代总体方差。

学生化均值为

若数据独立且来自正态总体，则在 下

即自由度 的 Student 分布。

分布比标准正态尾部更厚，反映用样本估计 带来的额外不确定性。自由度增大时， 分布趋近 。

13. 单样本 与 检验例题

数据为

假设独立来自 。检验

显著性水平 。这是双侧检验。

样本均值为

已知

双侧 值为

因为 ，拒绝 。

未知

离均差为

平方和为

所以

自由度为 3。双侧 5% 临界值约为

因为

所以不拒绝 ；双侧 值约为 。

同一数据在已知方差的 检验中显著、在未知方差的小样本 检验中不显著，原因是后者计入了方差估计的不确定性。

14. 等方差双样本 检验

两组独立数据：

假设两组共享未知方差 。检验

合并方差为

检验统计量为

在 下，

如果两组方差不相等，应使用 Welch 检验而不是强行合并方差。

15. 两组孕期数据

某产科医院的 1408 名女性分为：

• 医疗原因入院：，，；
• 未预约急诊入院：，，。

检验

在等方差假设下，

均值差的标准误为

因此

自由度为

双侧 值约为 ，所以在 5% 水平拒绝均值相等的零假设。

估计差为

统计显著不自动意味着临床效应巨大，仍应报告差值与区间。

所作假设包括：

• 两组观测相互独立；
• 组内观测独立；
• 每组总体近似正态，或样本量足够大；
• 两组总体方差相同；
• 样本选择过程允许比较两组目标总体。

16. 发表筛选与第一类错误

只发表 的论文

不能仅由“发表门槛是 0.05”推断已发表论文中 5% 为第一类错误。还需要知道：

• 被检验的零假设有多少实际为真；
• 真效应研究的功效；
• 研究选择与多重检验；
• 分析和发表偏差。

是“在 为真时，单项规范检验被错误发表为显著”的条件概率，不是“已发表显著论文中错误者的比例”。

Jerry 的治疗全部无效

Jerry 的所有零假设都真实，并使用 ：

• 约 的实验会偶然得到 并发表；
• 所有这些已发表结果都是第一类错误，因此已发表论文中错误比例为 。

Jen 的治疗全部有效

Jen 的所有备择假设都真实：

• 发表比例等于检验功效，必须根据效应大小、样本量和方差计算；
• 已发表论文中第一类错误比例为 ，因为零假设从未真实。

她仍可能出现第二类错误，即有效治疗未达到显著而没有发表。

本讲要点

1. 临界值是拒绝域边界，分位数与尾概率互补；
2. 值中的“极端”由检验方向定义；
3. 第一类错误概率是显著性水平；
4. 功效是在备择为真时正确拒绝零假设的概率；
5. 功效必须针对具体备择分布计算；
6. 未知总体方差时，正态均值检验使用 分布；
7. 等方差双样本 检验使用合并方差；
8. 显著性不等于效应大小或实际重要性；
9. 发表结果中的错误比例不能直接由 推出。