19-第19讲-卡方检验ANOVA与多重检验

1. 显著性检验的共同模式

不同检验遵循同一框架，差别主要在检验统计量的构造和零分布。

设计阶段

1. 设计能够区分 的实验；
2. 选择检验统计量 ；
3. 确定 在 下的分布；
4. 预先选择显著性水平 和拒绝域；
5. 若备择为简单假设，计算功效；
6. 也可同时设定目标显著性与功效，再反推样本量。

实施阶段

1. 收集数据；
2. 计算观察统计量；
3. 计算 值；
4. 若 ，拒绝 。

2. 模拟的作用

模拟用伪随机数据重复运行一个虚拟实验。大量重复后，可估计：

模拟有助于：

• 检查理论公式；
• 研究难以解析计算的统计量；
• 估计有限样本误差率；
• 比较不同实验设计。

但模拟中的模型和参数是研究者设定的，不能自动代表现实。

3. 为什么 值不能给出假设概率

Studio 7 的模拟分别记录：

• 拒绝且 为真；
• 拒绝且 为真；
• 不拒绝且 为真；
• 不拒绝且 为真。

模拟验证：

和

但

取决于模拟中 出现的比例，也就是假设的基准率。它可以接近 0、接近 1 或位于二者之间。

因此，两样本 检验得到

并不能推出“两组均值相同”的赔率为 、 或其他确定值。答案是未知，因为没有假设先验概率和备择下的似然。

4. 齐性卡方检验

有若干独立数据集，例如多个治疗组或多个地区的调查结果。零假设“齐性”表示各数据集来自相同的分类分布。

三种治疗

	治疗 1	治疗 2	治疗 3	合计
治愈	50	30	12	92
未治愈	100	80	18	198
合计	150	110	30	290

检验

在 下，共同治愈率的 MLE 为

期望频数由

计算：

	治疗 1	治疗 2	治疗 3
治愈期望	47.6	34.9	9.5
未治愈期望	102.4	75.1	20.5

5. Pearson 与似然比卡方统计量

Pearson 统计量为

似然比统计量为

并约定 的项贡献为 0。

本例中：

自由度为

在 下，两统计量均近似服从

右尾 值约为

所以不拒绝三种治疗具有相同治愈率的零假设。

6. 拟合优度检验：餐厅客流

店主声称周一至周六顾客比例为

Sal 观察到

总数为 200。

零假设：

期望频数为

计算得到

因为六类概率已完全给定、没有从数据估计参数，自由度为

Pearson 统计量的右尾 值约为 ，似然比统计量给出相近结果。因此若预先设定 ，会刚好拒绝店主分布；若使用更严格水平，则不拒绝。

7. 遗传连锁的拟合优度检验

甜豌豆中：

• 紫花 对红花 显性；
• 长花粉 对圆花粉 显性。

杂交：

产生 ，再作

若颜色与形状独立分配，则 表型比例应为

总数 2132，因此期望频数为：

表型	紫长	紫圆	红长	红圆
期望	1199.25	399.75	399.75	133.25
观察	1528	106	117	381

Pearson 统计量为

自由度为

值极接近 0，强烈拒绝独立分配。

观察中亲本组合“紫长”和“红圆”远多于预期，重组组合“紫圆”和“红长”远少于预期。这说明控制花色与花粉形状的基因在染色体上连锁，而不是独立遗传。

8. 分布

分布记为

其中 是两个自由度参数。

性质：

• 由正态样本的方差比构造；
• 取值范围为 ；
• 通常右偏；
• 自由度较大时集中在 1 附近。

不同自由度组合，例如 、、，曲线形状不同。

9. 单因素方差分析

单因素 ANOVA 检验多个组的均值是否相同。

设第 组第 个观测为

所有观测独立，且各组方差相同。

零假设：

设第 组样本量为 ，组均值为 ，总均值为 。组间平方和：

组内平方和：

均方为

检验统计量：

在 下，

若组均值确实相同，组间与组内均方都估计同一个 ，所以比值应接近 1；很大的 支持均值不全相等。

10. 三种治疗的恢复时间

数据：

治疗 1	治疗 2	治疗 3
6	8	13
8	12	9
4	9	11
5	11	8
3	6	7
4	8	12

三组均值为

总均值为

计算：

所以

在 时，讲义给出临界值

因为

拒绝三组平均恢复时间相等的零假设。数据提示至少一种治疗的平均恢复时间不同；从样本均值看，治疗 1 恢复最快。

ANOVA 本身不说明哪些具体组对不同，还需要经多重比较校正的事后检验。

11. 多重检验

六种治疗两两比较，需要

个双样本 检验。

若每个检验都用 ，并粗略假设各检验独立，则至少一次错误拒绝的概率为

所以最佳选项为“大于 0.25”。

实际两两检验共享数据，并不独立，但不作调整时整体第一类错误仍会显著膨胀。

ANOVA 的优势：

• 用一个总体检验控制整体显著性；
• 无需先运行所有成对检验。

局限：

• 只回答“是否所有均值都相同”；
• 拒绝后不能直接指出哪些组不同。

后续成对比较应使用 Bonferroni、Tukey 等方法控制家族错误率。

12. 独立性卡方检验

列联表：

教育	结婚一次	多次结婚	合计
大学	550	61	611
未上大学	681	144	825
合计	1231	205	1436

检验

独立性下的期望频数为：

教育	结婚一次	多次结婚
大学	523.775	87.225
未上大学	707.225	117.775

Pearson 统计量为

自由度为

在 时， 临界值约为 6.635。因为

拒绝独立性零假设； 值约为 。

该结果说明表中存在统计关联，不单独证明教育导致婚姻次数变化。年龄、队列、社会经济状况等变量都可能混杂。

13. 三类卡方检验的关系

• 拟合优度检验：一个样本是否符合给定分类分布；
• 齐性检验：多个总体是否共享同一分类分布；
• 独立性检验：一个总体中的两个分类变量是否独立。

三者都使用观察频数、零假设期望频数和近似 零分布，但研究设计与假设解释不同。

常用条件包括：

• 观测相互独立；
• 分类互斥且完备；
• 期望频数不能过小；
• 自由度应扣除从数据估计的参数数目。

本讲要点

1. 所有 NHST 方法都由统计量、零分布、拒绝域和 值组成；
2. 值不能给出零假设为真的赔率；
3. Pearson 与似然比 用于分类频数检验；
4. 拟合优度、齐性和独立性检验有相同数学骨架；
5. 单因素 ANOVA 用 比率检验多个均值是否全相同；
6. 显著 ANOVA 需要后续校正比较才能定位组间差异；
7. 多重检验会膨胀至少一次假阳性的概率；
8. 统计关联不自动证明因果关系。