22-第22讲-正态数据的置信区间

1. 临界值与分位数

随机变量 的 分位数 满足

右尾临界值 满足

所以

对标准正态分布，右尾临界值记为 ；对 分布记为 。

例如：

又因

所以

2. 正态均值的 置信区间

设

且 已知。

置信水平 的均值区间为

即

95% 近似经验公式使用 ：

更精确地为

3. 正态均值的 置信区间

若 未知，用样本标准差 替代。置信水平 的区间为

这里 是自由度 、右尾面积 的临界值。

4. 正态方差的 置信区间

正态样本满足

使用右尾临界值 ，方差的 置信区间为

标准差区间由两端开平方得到：

5. 计算例题

数据为

有

离均差平方和：

所以

(a) 已知 的 90% 区间

因此

即

(b) 未知 的 90% 区间

自由度为 3，

标准误为

误差界约为

所以

(c) 90% 方差区间

自由度 3 的卡方临界值近似为

由于

得到

(d) 90% 标准差区间

(e) 大样本经验区间

若

则经验 95% 区间为

即

6. 置信区间的频率学派解释

置信区间：

• 是由数据计算的区间统计量；
• 是未知参数的区间估计；
• 宽度反映精度；
• 置信水平反映构造程序的长期覆盖性能。

95% 置信区间 不表示

在传统频率解释下，固定真参数 不随机。

正确解释是：

如果无限次重复同一抽样与区间构造程序，约 95% 的所构造区间会包含真参数。

对已观察到的具体区间，它要么包含真值，要么不包含。

7. 区间宽度如何变化

区间总宽度为

所以：

1. 增大：区间变窄；
2. 置信水平增大：临界值增大，区间变宽；
3. 或样本均值整体增大：只平移中心，宽度不变；
4. 增大：区间变宽。

样本量扩大 4 倍，区间宽度减半。

8. 置信区间与假设检验的对偶

考虑双侧检验

与显著性水平 。

非拒绝条件为

代数移项得到

因此：

几何上：

• 以 为中心的非拒绝区包含 ；
• 等价于以 为中心的置信区间包含 。

两点距离相同，因此这种“转轴”或反演关系成立。

9. 二项比例的保守正态区间

设

样本比例为

由于

可构造保守的 正态区间：

95% 时 ，得到民调常用经验公式：

这是最坏情形方差上界给出的保守区间。二项比例还有 Wilson、Clopper–Pearson 等其他区间，尤其在样本较小或比例接近 0、1 时可能更合适。

10. 民调样本量

保守误差界为

反解：

(a) 95% 置信、误差 0.01

用 ：

使用精确 1.96 时为 9604。

(b) 80% 置信、误差 0.01

向上取整：

(c)

95% 的误差界为

所以区间为

80% 的误差界为

所以区间为

若区间端点越出 ，应至少截断到合法概率范围；更好的做法是采用专门的二项区间方法。

本讲要点

1. 临界值按右尾概率标记，分位数按左尾概率标记；
2. 已知方差用 均值区间，未知方差用 区间；
3. 正态方差区间来自卡方枢轴量；
4. 置信水平描述区间构造程序的长期覆盖率；
5. 置信区间不是固定参数的后验概率区间；
6. 双侧检验的非拒绝参数集合就是对应置信区间；
7. 民调保守误差界按 缩小；
8. 更高置信度和更大总体波动都会使区间更宽。