23-第23讲-置信区间II

1. 本讲内容

• R 测验说明；
• 民意调查：估计 中的 ；
• 由中心极限定理得到均值的大样本置信区间；
• 理解置信区间的三种视角；
• 通过“枢轴变换”构造置信区间与不拒绝域。

2. R 测验说明

测验时间为 5 月 6 日星期五下午 3—4 点，地点为 4-149。

• 题型与 R Studio 课相似；
• 可使用互联网和笔记，但不得与他人交流；
• 包括简单计算、简单绘图；
• 包括均值、方差、分位数等常用统计量；
• 包括 dnorm()、pnorm()、dexp() 等标准分布函数；
• 包括 sample()、rnorm() 等模拟函数；
• 包括标准检验与贝叶斯更新；
• 至少有一道题需要借助 R 和/或搜索资料完成。

3. 民意调查的置信区间

这也称为二项比例置信区间。

调查相当于从 分布中抽样：

此时

是样本中支持者所占的比例。由于

结合中心极限定理，可以得到 的保守 置信区间：

对于 95% 置信水平，，因而有常用经验公式：

政治民调经常把 报告为误差范围。例如，若误差范围是 ，则

二项比例置信区间还有多种构造方法，例如 Wald、Wilson、Clopper–Pearson 等；不同方法的实际覆盖率和区间宽度并不相同。

4. 课堂题：二项比例的置信区间

要估计支持候选方案 X 的人口比例 ，使用区间

4.1 95% 置信水平、误差范围 0.01

要求

因此

4.2 80% 置信水平、误差范围 0.01

此时 ，所以

令

得到

样本量必须取整数并保证误差不超过要求，故至少需要

4.3 时的区间

由于 ，95% 置信区间的误差范围近似为

所以区间为

80% 置信区间的误差范围为

所以区间为

若采用 95% 经验公式，则误差范围为

5. 概念题：隔夜民调

总统选举期间，调查机构常进行“隔夜民调”，并报告约 的误差范围。由

可得

所以样本量大约在 600—1000 人之间，对应选项 (e)。

不过，这一误差范围只描述由随机抽样导致的不确定性，并不能涵盖所有调查误差。

6. 隔夜民调的方法问题

• 样本可能不具代表性：哪些人能够被联系到、哪些人愿意回应，都可能造成选择偏差。
• 调查机构会对结果进行加权或其他调整，以弥补样本群体与实际选民群体之间的差异。
• 数字化并不等于精确。理解数据如何被收集、处理和产生，是正确解释选前民调的前提。

因此，即使报告的随机抽样误差只有 ，非响应偏差、覆盖不足、问题措辞、对实际投票者的判断及加权模型等误差仍可能更大。

7. 均值的大样本置信区间

设 相互独立，来自某个均值和方差均有限的分布；总体不必是正态分布。

中心极限定理告诉我们，当 较大时，学生化样本均值近似服从标准正态分布：

因此， 的近似 大样本置信区间为

也可写成

这里用样本标准差 估计未知总体标准差。区间的覆盖率是近似的，近似质量取决于样本量与总体分布。

8. 回顾：正态数据的置信区间

设

置信水平为 。

8.1 已知：均值的 区间

8.2 未知：均值的 区间

8.3 方差的卡方区间

若用 表示自由度为 的卡方分布的右尾临界值，即

则 的置信区间为

统计量与上述卡方统计量的自由度均为 。

9. 理解置信区间的三种视角

1. 用标准化的点统计量定义并构造置信区间；
2. 由假设检验定义并构造置信区间；
3. 把置信区间定义为满足某个形式化数学性质的区间统计量。

这三种视角描述的是同一对象，但强调点不同。

10. 视角一：标准化统计量与枢轴变换

假设

其中 已知。标准化样本均值

于是

把不等式改写成关于 的形式，这一步称为枢轴变换：

所以置信区间为

直观上，它就是

10.1 其他标准化统计量

当 未知时，

对不等式

进行枢轴变换，可得

同理，

从

解出 ，得到

11. 视角二：由假设检验构造

设未知参数为 ，观测统计量为 。对于任意候选值 ，都可以在显著性水平 下检验

给定观测 ， 置信区间包含所有在上述检验中不会被拒绝的 。

换言之：

当置信区间不包含参数的真实值时，称为发生一次 I 类置信区间错误。对 置信区间，这种错误的长期发生率为 。

12. 课堂题：置信区间与不拒绝域

设

其中 未知、 已知。

12.1 原假设 的不拒绝域

在双侧、显著性水平 的 检验中，不拒绝 当且仅当

所以，以 为横轴时，不拒绝域为

12.2 给定样本均值的置信区间

若观测到的样本均值为 ，则

12.3 几何解释

在横轴为 、纵轴为 的平面内，画出两条边界线：

两条平行线之间是一条带状区域。

• 固定 ，作水平截线，得到检验 的不拒绝域；
• 固定观测 ，作竖直截线，得到 的置信区间。

因此，“对给定参数值找不会拒绝它的数据”和“对给定数据找不会被拒绝的参数值”，只是对同一带状区域采取不同方向的截面。

13. 视角三：形式化定义

由数据 计算得到的区间 称为区间统计量。因为 是随机的，所以 也是随机区间。

假设

其中参数 未知。如果对所有可能的 ，区间统计量 都满足

那么 就是 的 置信区间。

这里的概率来自数据 的重复抽样，而不是说固定参数 在已经算出的区间中“随机游动”。

实际使用时，等号常放宽为：

• 精确等于：、、 区间；
• 至少为：保守经验区间和精确二项区间；
• 近似等于：大样本置信区间。

14. 本讲要点

• 二项比例的保守区间来自 ；
• 民调中的“误差范围”通常只反映随机抽样误差；
• 大样本置信区间由中心极限定理得到；
• 枢轴变换把标准化统计量的概率陈述改写成参数区间；
• 置信区间正是显著性水平 的双侧检验中所有不被拒绝的参数值；
• 置信水平描述构造程序在重复抽样中的长期覆盖率。