24-第24讲-自助法

数学概率论

数学

发布日期: 2026-05-02

更新日期: 2026-08-04

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1. 本讲内容

自助法的术语；
自助法原理；
经验自助法，也称非参数自助法；
参数自助法。

课程通知：R 测验于次日举行；关于置信区间的习题集 11 位于 MITx 第 14 周，无需提交；关于自助法的 R Studio 10 也无需提交。

2. 数据的经验分布

经验分布是已经观测到的数据本身所形成的分布，而不是生成这些数据的未知总体分布。

例如，独立观测数据为

其经验随机变量的概率质量函数为：

	1	2	3	8

样本量足够大且具有代表性时，经验分布会近似真实分布。

3. 重抽样

给定原样本

从原样本中有放回地随机抽取个数，称为一次大小为的重抽样。

重抽样概率由经验分布决定。例如：

一次大小为 10 的重抽样可能是

自助样本的大小总与原样本相同。因此本例的自助样本必须有 6 个观测，例如

4. 均值的自助法原理

设总体分布的均值为，并有

令为原数据的经验分布。从中有放回地抽取与原样本相同数量的观测：

其均值记为。

自助法的基本思想是：

；
围绕波动，正如围绕波动；
的抽样变异可以用的自助分布变异来近似。

关键优势是：在已有数据的基础上，可以生成任意多次自助样本，从而较准确地估计自助统计量的分布。

这一原理不只适用于均值，也适用于很多其他统计量。

5. 经验百分位自助置信区间

设数据

来自未知分布，要用统计量估计的某个特征。

步骤如下：

从经验分布中生成许多大小为的自助样本；
对每个自助样本计算相同的统计量；
用所有的经验分布近似的抽样分布；
取的两端分位数作为区间端点。

百分位自助置信区间为

其中表示自助统计量分布的分位数。

其依据是

$的分布的抽样分布$

6. 基本自助置信区间

本方法课堂上不作重点，但讲义给出了构造。

先计算每次自助估计与原估计之差：

由于

可以用的分位数近似估计误差的分位数。

基本自助置信区间为

等价地，若百分位自助端点为与，基本区间可写为

7. 哪种自助区间更好

百分位法稍简单，并且在许多实际场景中往往比基本自助法略好。不过，还有 BCa 等更复杂的方法，通常能进一步改善覆盖率。

这些方法都建立在同一重抽样思想上，只是通过偏差和偏斜修正来改善有限样本表现。

8. 概念题：哪个统计量最容易

考虑为以下统计量构造自助置信区间：

均值；
中位数；
第 47 百分位数。

自助法只要求对每个重抽样样本重新计算目标统计量，因此三者的流程同样直接。答案为

$、、$

这体现了自助法的通用性：即使统计量的解析抽样分布很难推导，计算机重抽样仍可给出近似。

9. 课堂题：经验自助法

原数据为

讲义给出 8 个自助样本，每一列是一次重抽样：

9.1 均值的 80% 百分位区间

8 个自助均值为

80% 区间取 0.1 与 0.9 分位数。按 R 默认的线性插值规则，得到

由于这里只使用 8 次重抽样，端点十分粗糙；实际应用通常要生成数千或更多自助样本。

9.2 中位数的 80% 百分位区间

8 个自助中位数为

按同一分位数规则，

10. 用 R 计算经验百分位自助区间

x = c(30, 37, 36, 43, 42, 43, 43, 46, 41, 42)
n = length(x)
xbar = mean(x)
n_boot = 5000

# 生成 n_boot 个大小为 n 的经验自助样本，并按列排列
tmp_data = sample(x, n * n_boot, replace = TRUE)
bootstrap_sample = matrix(tmp_data, nrow = n, ncol = n_boot)

# 每一列的均值就是一个自助均值
xbar_star = colMeans(bootstrap_sample)

# 80% 百分位自助置信区间
ci = quantile(xbar_star, c(0.1, 0.9))

11. 参数自助法

设数据来自参数分布

并用估计未知参数。

参数自助法不直接从观测值中重抽样，而是：

从拟合分布中生成许多大小为的自助样本；
对每个样本计算估计量；
计算

用的分位数近似

的分位数；
5. 构造区间

与经验自助法相比，参数自助法依赖所选参数模型正确，但若模型合理，往往可以更有效地利用结构信息。

12. R 中的参数自助法

假设数据来自，其中未知：

x = c(3, 5, 7, 9, 11, 13)
binom_size = 15
n = length(x)
theta_hat = mean(x) / binom_size
n_boot = 5000

# 从拟合的二项分布生成参数自助样本
tmp_data = rbinom(n * n_boot, binom_size, theta_hat)
bootstrap_sample = matrix(tmp_data, nrow = n, ncol = n_boot)

# 计算自助估计和自助误差
theta_hat_star = colMeans(bootstrap_sample) / binom_size
delta_star = theta_hat_star - theta_hat

# 80% 基本参数自助置信区间
d = quantile(delta_star, c(0.1, 0.9))
ci = theta_hat - c(d[2], d[1])

13. 课堂题：二项模型的参数自助法

数据来自。6 次观测为

13.1 估计

二项分布中单次观测的均值为，所以最大似然估计为

13.2 生成 100 个参数自助样本并构造 80% 区间

x = c(6, 5, 5, 5, 7, 4)
binom_size = 8
n = length(x)
theta_hat = mean(x) / binom_size
n_boot = 100

tmp_data = rbinom(
  n * n_boot,
  size = binom_size,
  prob = theta_hat
)
bootstrap_sample = matrix(
  tmp_data,
  nrow = n,
  ncol = n_boot
)

theta_star = colMeans(bootstrap_sample) / binom_size
delta_star = theta_star - theta_hat
d = quantile(delta_star, c(0.1, 0.9))
ci = theta_hat - c(d[2], d[1])
ci