01-概率空间与 sigma-代数

概率空间的记号

• 概率空间是一个三元组

  其中， 是样本空间， 是事件的集合（即 -代数），而

  是概率函数。

• -代数是一个对子集取补与可数并运算封闭的子集族。称 为一个测度空间。

• 测度是一个函数

  它对所有 满足

  并满足可数可加性：对于两两不交的 ，

• 如果 ，则测度 是概率测度。

定义的基本推论

• 单调性： 若 ，则

• 次可加性： 若

  则

• 下连续性： 若集合 构成递增序列，则这些集合的测度收敛到其极限集合 的测度。

• 上连续性： 若集合 构成递减序列，则这些集合的测度收敛到其交集 的测度。

为什么 -代数不能由 的所有子集组成？

• 上的均匀概率测度应当满足平移不变性：如果 及 的一次水平平移都是 的子集，那么它们的概率应当相等。

• 考虑环绕式平移

• 由平移不变性， 与 具有相同的概率。

• 如果 是有理数，就称 “模有理数等价”（例如 ，）。一个等价类是 中与某个给定点等价的所有点组成的集合。

• 这样的等价类有不可数多个。

• 令 从每个等价类中恰好包含一个点。对于每个 ，恰有一个 ，使得

  是有理数。

• 因此， 中的每个 都恰好属于某个 ，其中 为有理数。

• 所以，当 遍历 中的有理数时，

• 如果 ，那么

  如果 ，那么

  这与公理 矛盾。

绕开这一问题的三种办法

1. 重新审视数学公理： 从每个等价类中取一个元素组成集合 ，这种集合的存在本身就是所谓选择公理的一个推论。去掉这条公理，悖论就会消失，因为我们可以直接假定（佯装？）这类集合不存在。

2. 重新审视概率论公理： 是否可以用有限可加性取代可数可加性？（可参阅巴拿赫—塔斯基悖论。）

3. 保留选择公理和可数可加性，但不为所有集合定义概率： 只关注某个由可测集构成的 -代数。

• 主流概率论和分析大多采用第三种办法。不过，了解其他选择也很有益，例如决定性公理；该公理蕴含所有集合都是勒贝格可测的。

博雷尔 -代数

• 博雷尔 -代数 是包含所有开区间的最小 -代数。

• 称 由开区间族“生成”。

• 为什么这个概念是有意义的？如果 都是 -域，其中 属于一个可能不可数的指标集 ，那么是否可以推出

  也是一个 -域？

提纲

• 概率空间与 -代数

• 上的分布